Question

【题目】已知射线AP是△ABC的外角平分线，连结PB、PC．

（1）如图1，若BP平分∠ABC，且∠ACB=30°，写出∠APB的度数．

（2）如图1，若P与A不重合，求证：AB+AC＜PB+PC．

（3）如图2，若过点P作PM⊥BA，交BA延长线于M点，且∠BPC=∠BAC，求：的值．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）见解析；（3）2.

【解析】

（1）根据三角形的角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论；
（2）在射线AD上取一点H，是的AH=AC，连接PH．则△APH≌△APC，根据三角形的三边关系即可得到结论．
（3）过P作PN⊥AC于N，根据角平分线的性质得到PM=PN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，BM=CN，于是得到结论．

（1）∵∠DAC=∠ABC+∠ACB，∠1=∠2+∠APB，

∵AE平分∠DAC，PB平分∠ABC，

∴∠1=DAC，∠2=∠ABC，

∴∠APB=∠1﹣∠2=DAC﹣ABC=∠ACB=15°，

故答案为：15°；

（2）在射线AD上取一点H，使得AH=AC，连接PH．

∵射线AP是△ABC的外角平分线，∴∠HAP=∠PAC，

则

故△APH≌△APC，

∴PC=PH，

在△BPH中，PB+PH＞BH，

∴PB+PC＞AB+AC．

（3）过P作PN⊥AC于N，

∵AP平分∠MAN，PM⊥BA，

∴PM=PN，

在Rt△APM与Rt△APN中， ，

∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），

∴AM=AN，

∵∠BPC=∠BAC，

∴A，B，C，P四点共圆，

∴∠ABP=∠PCN，

在△PMB与△PNC中， ，

∴BM=CN，

∵AM=AN，

∴AC﹣AB=2AM，

∴=2．