Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q。
（1）求证：P是△ACQ的外心；
（2）若 tan∠ABC=，CF=8，求CQ的长；
（3）求证：（FP+PQ）²=FP·FG。

Answer 1

解：（1）∵C是的中点，
∴，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB，
∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
∵CE⊥直径AB，
∴
∴
∴∠CAD=∠ACE，
∴在△APC中，有PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心；
（2）∵CE⊥直径AB于F，
∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=，CF=8，得，
∴由勾股定理，得
∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=，
得，
易知Rt△ACB∽Rt△QCA，
∴
∴；
（3）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB，
∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB，
∴，即
易知Rt△ACF∽Rt△CBF，
∴（或由摄影定理得）
∴
由（1），知PC=PQ，
∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴。