Question

如图，在平面直角坐标系内，点0为坐标原点，经过点A(2，6)的直线交x轴负半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴正半轴于点D，若△ABD    的面积为27．

(1)求直线AD的解析式；

(2)横坐标为m的点P在AB上(不与点A，B重合)，过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形，若存在求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．    ，

Answer 1

过点A作AG⊥x轴于点G ,

∵A（2，6）  ∴OG=2 , AG=6     1分

∵OB=OC ∴OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB

∵∠COB=90°，∠COB+∠OBC+∠OCB=180°，

∴∠OBC=∠OCB=45°∵∠COB=∠AGB=90°∴CO∥AG

∴∠BAG =∠OCB =∠OBC= = 45°

∴BG= AG=6  ∴OB=4 ∴B(-4,0)

∵27   ∴BD=9

∴OD=5  ∴D(5,0)     1分

设直线AD的解析式为y=kx+b

∵A(2,6)    D(5,0) ∴  解得

∴直线AD的解析式为y=-2x+10        1分

（2）过点P作PH⊥BD,点H为垂足

∠BPH=180°-∠ABO-∠PHB=45°

∴∠BPH=∠PBH    ∴PH=HB    ∵OB=4, 点P的横坐标为m  ∴PH=HB=m+4

∵PE∥x轴  ∴点E的纵坐标为m+4         1分

∵点E在直线 y=-2x+10上  ∴m+4=-2x+10    x=3- ∴点E的横坐标为3-

 ∵点P的横坐标为m   ∴y=3--m=            1分

m的取值范围为-4<m<2              1分

（3）在x轴上存在点F，使△PEF为等腰直角三角形，

①当∠FPE=90°时，有PF=PE,  PF= m+4  PE=  ∴= m+4

解得m=-  此时F(-,0)           1分

②当∠FPE=90°时，有EP=EF,  EF的长等于点E的纵坐标  ∴EF= m+4

∴= m+4  解得m=-   点E的横坐标为3-=3-(-=

此时F(，0)        1分

③当∠PFE=90°时  FP=FE, ∴∠FPE=∠FEP

∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180° ∴∠FPE=∠FEP=45°

作FR⊥PE，点R为垂足   ∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°

∴∠PFR=∠RPF  ∴FR=PR  同理FR=ER  ∴FR=PE     1分

∵点R与点E的纵坐标相同  ∴FR= m+4  ∴m+4=（）

解得m=  PR= FR= m+4=+4= 

 ∴点F的横坐标为+=  ∴F(,0)  1分

综上，在x轴上存在点F使△PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为(-,0)或(，0)或(,0).