题目内容
已知△ABC中，∠C是其最小的内角，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，在Rt△ABC中，∠C=20°，过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC=20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．
（1）如图2，在△ABC中，∠C=20°，∠ABC=110°．请在图中画出△ABC的关于点B的伴侣分割线，并标注角度；
（2）在△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x．试探索y与x之间满足怎样的关系时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】（1）首先了解伴侣分割线的定义，然后把角ABC分成90°角和20°角即可；
（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形分别进行分析．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分以下两种情况．
第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，
易知∠C和∠DBC必为底角，∴∠DBC=∠C=x．
当∠A=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°﹣x，
当∠ABD=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°+x，
当∠ADB=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时x=45°且y＞x；
第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，
当∠DBC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，
此时180°﹣x﹣y=y﹣90°，∴y=135°﹣
x，
当∠BDC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，
此时∠A=45°，∴y=135°﹣x．
综上所述，当y=90°﹣x或y=90°+x或x=45°且y＞x或y=135°﹣x
或y=135°﹣x时△ABC存在伴侣分割线．
【点评】此题主要考查了应用设计作图，关键是正确理解题意，了解伴侣分割线的意义．
应用题作业本系列答案
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与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
，3
