题目内容

如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数 $数学公式$ 的图象交于点P，点P在第四象限，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S_△DBP=27，AO=3CO
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）请写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

解：（1）根据一次函数y=kx+3可得D（0，3），即OD=3，
又∵AO=3CO，∴AC=2CO，
由PA⊥x轴，OD⊥x轴，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，解得PA=2OD=6，
由此可得BD=BO+OD=AP+OD=9，
∵S_△DBP=27，∴ $\text{[math]}$ ×BD×BP=27，解得BP=6，∴P（6，-6），
将P（6，-6）代入一次函数y=kx+3中，得k=- $\text{[math]}$ ，
故一次函数解析式为y=- $\text{[math]}$ x+3，

将P（6，-6）代入y= $\text{[math]}$ 中，得m=-36，
故反比例函数解析式为y=- $\text{[math]}$ ；

（2）解方程组 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
故直线与双曲线的两个交点为（-4，9），（6，-6），
由图象可知，
当x＞6或-4＜x＜0时，一次函数的值小于反比例函数的值．
分析：（1）由一次函数y=kx+3可知D（0，3），即OD=3，又由AO=3CO可知AC=2CO，由相似比求AP，可求线段BD，再根据S_△DBP=27求PB，确定P点坐标，运用待定系数法求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）联立两个函数解析式，求一次函数与反比例函数的图象交点坐标，再根据图象求x的取值范围．
点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是根据函数解析式求点的坐标，线段的长，利用相似比求线段长及点的坐标，确定函数解析式．