Question

12、如图所示，等腰△ABC中，底边BC上有任意一点D，则D点到两腰上的距离与一腰上的高有什么关系？
（1）在甲图中，当点D在底边BC上时，写出你的猜想并证明；
（2）在乙图中，当点D在BC的延长线上时，写出你的猜想并证明．

Answer 1

分析：（1）猜想是DE+DF=CG．在CG上截取CH=DE，连接DH，易证四边形GEDH是矩形，从而可知∠GHD=90°，DH∥AB，那么就有∠DHC=∠CFD=90°，∠HDC=∠B，又AB=AC，利用等边对等角，可得∠B=∠FCD，于是∠HDC=∠FCD，再结合CD=DC，利用AAS可证△DHC≌△CFD，那么CH=DF，从而易证DE+DF=CG．
（2）猜想：DE-DF=CG．过C作CM⊥ED，垂足为M，易证四边形CGEM是矩形，所以EM=DC，ED∥CG，于是∠1=∠3．由于AB=AC，利用等边对等角，可得∠B=∠ACB，而∠ACB=∠DCF，那么∠ACB=∠DCF，利用等角的余角相等，可得∠3=∠2．从而有∠1=∠2，显然利用AAS可证△DCM≌△DCF，那么DM=DF，易证
DE-DF=CG．

解答：（1）猜想：DE+DF=CG．
证明：如答图所示，在CG上
截取GH=ED，并连接HD，
∵CG⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥CG．
又GH=ED，
∴DHGE是矩形，
∴∠DHC=90°，
在△DHC和△CFD中，
∠DHC=∠CFD=90°，
∵DG∥AB，AB=AC，
∴∠HDC=∠B=∠FCD，DC=CD，
∴△DHC≌△CFD，
∴HC=FD，
∴DE+DF=GH+HC=CG，
即DE+DF=CG．

（2）猜想：DE-DF=CG．
证明：如答图所示，过C
作CM⊥ED，垂足为M，
∵DF⊥AC，
∴∠CMD=∠CFD=90°，
AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠FCD，
∴∠B=∠FCD，
∵CG⊥AB，DE⊥AB，
∴∠3=90°-∠B，CG∥DE，
∴∠1=∠3，
又∵DF⊥CF，
∴∠2=90°-∠FCD．
∴∠2=90°-∠B，
∴∠1=∠2，
在△CMD和△CFD中，
∴△CMD≌△CFD，
∴DM=DF，
∵四边形GCME为长方形，
∴CG=EM，
∵EM+MD=DE，
∴CG+DF=DE，
即DE-DF=CG．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；辅助线的作出是正确解答本题的关键．