Question

如图，P是等边△ABC内一点，且PA=6，PC=8，PB=10，若△APB绕点A逆时针旋转60°后，得到△AP′C，则∠APC=________°．

Answer 1

150
分析：连接PP′，根据旋转变换的性质可得△AP′C和△APB全等，根据全等三角形对应边相等可得P′A=PA，P′C=PB，然后证明△APP′是等边三角形，根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠APP′=60°，每一条边都相等可得PP′=PA，再根据勾股定理逆定理证明△P′PC是直角三角形，然后根据∠APC=∠APP′+∠P′PC代入数据进行计算即可得解．
解答：解：如图，连接PP′，
∵△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C，
∴△AP′C≌△APB，
∴P′A=PA=6，P′C=PB=10，
∵旋转角是60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′=60°，PP′=PA=6，
∵PP′²+PC²=6²+8²=100，P′C²=PB²=10²=100，
∴PP′²+PC²=P′C²，
∴△P′PC是以∠P′PC为直角的直角三角形，
∴∠APC=∠APP′+∠P′PC=60°+90°=150°．
故答案为：150．
点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理的应用，作辅助线构造出等边三角形与直角三角形是解题的关键．