Question

由矩形ABCD的外接圆上任意一点M向它的两对边引垂线MQ和MP，向另两边延长线引垂线MR，MT．证明：PR与QT垂直，且它们的交点在矩形的一条对角线上．

Answer 1

分析：连接BD交PR于N，连接QN、DM、DB、AM、BN、MN、TN、MC，可得出M、P、Q共线，R、D、N、M四点共圆，R、D、N、Q、M五点共圆，再根据矩形QCTM中，∠5=∠4=∠2，∠5+∠6=∠2+∠7=90°，∠NQT=∠5+∠DQM+∠6=180°，即可求出N、Q、T共线，进而可得出答案．

解答：解：连接BD交PR于N，连接QN、DM、DB、AM、BN、MN、TN、MC，显然M、P、Q共线，R、M、T共线，在矩形APMR中，
∠1=∠2=∠3，
∴R、D、N、M四点共圆，
∴R、D、N、Q、M五点共圆，
∴∠RNQ=90°，∠6=∠7，
在矩形QCTM中，∠5=∠4=∠2，
∴∠5+∠6=∠2+∠7=90°，
∴∠NQT=∠5+∠DQM+∠6=180°，
∴N、Q、T共线，
∴TQ⊥PR且它们的交点在矩形的一条对角线上．

点评：本题考查的是梅涅劳斯定理与赛瓦定理，能根据题意得出R、D、N、M四点共圆，R、D、N、Q、M五点共圆是解答此题的关键．