Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，边长为2，∠BAD＝120°，点P从点B开始，沿着B→D方向，速度为每秒1个单位，运动到点D停止，设运动的时间为t（秒），将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到对应线段的延长线与过点P且垂直AP的垂线段相交于点E，

（1）当t＝0时，求AE的值．

（2）P点在运动过程中，线段PE与菱形的边框交于点F．（精确到0.1）

问题1：如图2，当∠BAP＝11°，AF＝2PF，则OQ＝　 　．

问题2：当t为何值时，△APF是含有30°角的直角三角形，写出所有符合条件的t的值　 ．

（≈1.73，sin11°≈0.19，cos11°≈0.98，sin19°≈0.33，tan19°≈0.34，sin41°≈0.65，tan41°≈0.87）

（3）当点P在运动过程中，求出△ACE的面积y关于时间t的函数表达式．（请说明理由）

Answer 1

【答案】（1）AE＝4；（2）问题1：OQ≈0.6，问题2：t＝1s或4s时，∠PAF＝30°；（3）S△ACE＝t（0＜t≤6）．．

【解析】

（1）利用直角三角形30度角的性质解决问题即可．

（2）①根据OQ=OAtan19°，求出OA即可解决问题．

②分两种情形：如图2-2中，当∠PAF=30°时，延长FP到H，使得PH=PF，连接AH，BH．如图2-1中，当∠PAF=30°，分别求解即可．

（3）如图3中，作BM⊥AB交AC的延长线于M，作EH⊥AM于H，连接EM．证明△EAM∽△PAB，推出=2，求出EM即可解决问题．

（1）t＝0时，点P与点B重合，

∵∠PAE＝60°，∠APE＝60°，

∴∠E＝30°，

∴AE＝2PA＝2AB＝4.

（2）①如图2中，

∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝120°，

∴∠DAC＝∠CAB＝60°，AD＝CD＝AB＝BC＝2，

∴△ADC，△ABC都是等边三角形，

∴AC＝AB＝2，OA＝OC＝，

∵∠APF＝90°，

∴sin∠PAF＝＝，

∴∠PAF＝30°，

∴∠OAQ＝60°﹣11°﹣30°＝19°，

∴OQ＝OAtan19°≈0.6．

故答案为0.6．

②如图2﹣2中，当∠PAF＝30°时，延长FP到H，使得PH＝PF，连接AH，BH．

∵PA⊥FH，FP＝FH，

∴AF＝AH，

∵∠PAF＝30°，

∴∠AFH＝60°，

∴△AFH是等边三角形，

∴∠PAH＝∠PAF＝30°，

∴PA＝PH，

∵∠AHF＝∠ABC＝60°，

∴A，H，B，F四点共圆，

∴∠ABH＝∠AFH＝60°，

∴∠ABH＝∠BAC＝60°，

∴BH∥AC，

∵BD⊥AC，

∴BD⊥BH，

由△HBP∽△POA，可知：＝，

∴OA＝t，

∴＝t，

∴t＝1．

如图2﹣1中，当∠PAF＝30°，易知∠BAP＝90°，

∴PB＝＝＝4，

综上所述，t＝1s或4s时，∠PAF＝30°．

故答案为1s或4s．

（3）如图3中，作BM⊥AB交AC的延长线于M，作EH⊥AM于H，连接EM．

在Rt△ABM中，∵∠ABM＝90°，∠BAM＝60°，

∴∠AMB＝30°，

∴AM＝2AB，

在Rt△APE中，∵∠APE＝90°，∠PAE＝60°，

∴∠AEP＝30°，

∴AE＝2PA，

∴＝＝2，

∵∠EAP＝∠MAB，

∴∠EAM＝∠PAB，

∴△EAM∽△PAB，

∴＝＝2，∠AME＝∠ABP＝30°，

∴EM＝2t，EH＝EM＝t，

∴S△ACE＝ACEH＝t（0＜t≤6）．