Question

如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为C，BG交AE于点H．

（1）求证：△ABE∽△ECF；

（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；

（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形。

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABE=∠ECF=90°．

∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．

∴∠AEB+∠BEA=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△ABE∽△ECF；

（2）△ABH∽△ECM．

证明：∵BG⊥AC，

∴∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠ABH=∠ECM，

由（1）知，∠BAH=∠CEM，

∴△ABH∽△ECM；

（3）解：作MR⊥BC，垂足为R，

∵AB=BE=EC=2，

∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，

∴∠MER=45°，CR=2MR，

∴MR=ER=RC=，

∴EM=．