题目内容
【题目】如图，一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形，古希腊科学家把数1,3,6,10,15,21，...称为“三角形数”；把1,4,9,25，...称为“正方形数”.同样可以把1,5,12,22，...，等数称为“五边形数”.
将三角形、正方形、五边形都整齐的由左到右填在所示表格里：
（1）按照规律，表格中a=_______________，b=_________________，c=________________________
（2）观察表中规律，第n个“正方形数”是_________________；若第n个“三角形数”是x，则用含x、n的代数式表示第n个“五边形数”是 ______________________________.
【答案】 28 36 35 n2 n2+x-n
【解析】（1）首先根据前6个“三角形数”分别是1=
、3=
、6=
、10=
、15=
、21=
，可得第n个“三角形数”是
，据此求出a的值是多少；然后根据前5个“正方形数”分别是1=12，4=22，9=32，16=42，25=52，可得第n个“正方形数”是n2，据此求出b的值是多少；最后根据前4个“五边形数”分别是1=
，5=
，12=
，22=
，可得第n个“五边形数”是
，据此求出c的值是多少即可．
（2）首先判断出第n个“正方形数”是n2；然后分别求出第1个“三角形数”、第1个“正方形数”的和与第1个“五边形数”的差是多少，第2个“三角形数”、第2个“正方形数”的和与第2个“五边形数”的差是多少；第3个“三角形数”、第3个“正方形数”的和与第3个“五边形数”的差是多少；最后总结出规律，用含x、n的代数式表示第n个“五边形数”即可．
（1）∵前6个“三角形数”分别是：
1=、3=、6=、10=、15=、21=，
∴第n个“三角形数”是
，
∴a=
=28．
∵前5个“正方形数”分别是：
1=12，4=22，9=32，16=42，25=52，
∴第n个“正方形数”是n2，
∴b=62=36．
∵前4个“正方形数”分别是：
1=
，5=
，12=
，22=
，
∴第n个“五边形数”是n（3n1）2n（3n1）2，
∴c=5×（3×51）25×（3×51）2=35．
（2）第n个“正方形数”是n2；
1+1-1=1，
3+4-5=2，
6+9-12=3，
10+16-22=4，
…，
∴第n个“五边形数”是n2+x-n．
