Question

12．如图，点D、E、F分别是边长为6的等边三角形ABC边AB、BC、AC上的点，且AD=BE=CF．
（1）求证：△DEF是等边三角形；
（2）当AD=2时，求△ADF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADF≌△BED≌△CFE即可得出：△DEF是等边三角形；
（2）过F作AB的垂线，垂足为H，可得FH=AF×sin60°=（6-2）×sin60°=2$\sqrt{3}$，${S}_{△ADF}=\frac{1}{2}•AD•AF$可得答案．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一个等边三角形；

（2）解：过F作AB的垂线，垂足为H，
∵AD=BE=CF=2，
∴FH=AF×sin60°=（6-2）×sin60°=2$\sqrt{3}$，
${S}_{△ADF}=\frac{1}{2}•AD•AF$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定及三角形面积公式，根据已知得出△ADF≌△BED≌△CFE是解题关键．