题目内容
探索与研究：中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的．每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2．于是便可得如下的式子：
S正方形EFGH=c2=（a-b）2+4×
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所以a2+b2=c2
（1）你能用下面的图形也来验证一下勾股定理吗？试一试！
（2）你自己还能设计一种方法来验证勾股定理吗？
分析：（1）由梯形的面积公式可得S梯形ABCD=
（a2+b2）+ab，由拼图可得S梯形ABCD=2×
ab+
c2，所以
（a2+b2）+ab=2×
ab+
c2∴a2+b2=c2；
（2）可利用相似三角形证明．
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（2）可利用相似三角形证明．
解答：解：（1）∵S梯形ABCD=
（a+b）（a+b）=
（a2+b2）+ab，S梯形ABCD=2×
ab+
c2
∴
（a2+b2）+ab=2×
ab+
c2∴a2+b2=c2
（2）在Rt△ABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D．
在△ADC和△ACB中，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∠CAD=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
AD：AC=AC：AB，
即AC2=AD•AB
同理可证，△CDB∽△ACB，从而有BC2=BD•AB．
∴AC2+BC2=（AD+DB）•AB=AB2，即a2+b2=c2．
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（2）在Rt△ABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D．
在△ADC和△ACB中，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∠CAD=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
AD：AC=AC：AB，
即AC2=AD•AB
同理可证，△CDB∽△ACB，从而有BC2=BD•AB．
∴AC2+BC2=（AD+DB）•AB=AB2，即a2+b2=c2．
点评：此题考查的是勾股定理的证明，尽量掌握多种证法．
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