Question

如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D．∠B的平分线分别与AD、AC交于E，F，H为EF的中点．
（1）求证：AH⊥EF；
（2）设△AHF、△BDE、△BAF的周长为c_l、c₂、c₃．试证明：

c1+c2

c3

≤

9

8

，并指出等号成立时

AF

BF

的值．

Answer 1

分析：（1）根据∠BAC=90°，AD⊥BC，则∠AFB=90°-∠ABF，∠AEF=∠BED=90°-∠DEB，再由BF平分∠ABC，则∠ABF=∠EBD，从而得出AE=AF，根据等腰三角形的性质即可证明AH⊥EF；
（2）设BF=x，

AF

BF

=k，则AF=kx，BA=

BF2-AF2

=x

1-k2

，可证明Rt△AHF∽Rt△BED∽Rt△BAF，则得出

HF

AF

=

DE

BE

=

AF

BF

=k，

AH

AF

=

BD

BE

=

BA

BF

=

1-k2

，再根据三角形的周长得出c_l、c₂、c₃．的关系式，并得出当k=

1

4

时，等号成立，即为

AF

BF

的值．

解答：证明：（1）∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠AFB=90°-∠ABF，∠AEF=∠BED=90°-∠EBD，
又BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
∵∠AFB=∠AEF，
∴AE=AF，H为EF的中点，∴AH⊥EF；

（2）设BF=x，

AF

BF

=k，则AF=kx，BA=

BF2-AF2

=x

1-k2

，
∵∠AFH=∠BED，∴Rt△AHF∽Rt△BED∽Rt△BAF，
∴

HF

AF

=

DE

BE

=

AF

BF

=k，

AH

AF

=

BD

BE

=

BA

BF

=

1-k2

，
而BE=BF-2HF=x-2k•AF=x-2k²x=（1-2k²）x，
∴c1=AF+HF+AH=k(1+k+

1-k2

)x，c2=BE+BD+DE=(1+

1-k2

+k)(1-2k2)x，c3=AF+BA+BF=(k+

1-k2

+1)x，
∴

c1+c2

c3

=-2k2+k+1=-2(k-

1

4

)2+

9

8

≤

9

8

，
故当k=

1

4

时，

AF

BF

=

1

4

时取等号．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，是中考压轴题，难度较大．