Question

如图，Rt△ABC中，斜边AB在x轴上，C点在y轴上，A点坐标为（-2，0），B点坐标为（8，0），
（1）直接写出点C的坐标：______，并求出经过点A、B、C的抛物线解析式．
（2）若抛物线的对称轴DE交BC于D，在对称轴上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出点P的坐标：______．
（3）在抛物线的BC段上有一动点M，当M在什么位置时，△BCM的面积最大？并求此时△BCM的面积．

Answer 1

解：（1）∵∠ACO+∠BCO=90°，∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴=，即=，
∴OC=4，
故点C的坐标为：（0，-4）；
依题意可设经过点A、B、C的抛物线解析式为：y=a（x-8）（x+2），
将C的坐标：（0，-4）代入得-4=a（0-8）（0+2），
解得：a=，
故过点A、B、C的抛物线解析式为：y=（x-8）（x+2）．

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B、C的坐标代入得：，
解得：，
故直线BC的解析式为：y=x-4，
抛物线解析式为y=（x-8）（x+2）=（x-3）²-，
则抛物线的对称轴为：x=3，
∴点D的坐标为（3，-），

①若∠CPD=90°，
此时∠CDP₁=∠BDE=∠BAC，
∴△ABC∽△DCP₁，
∴=，即=，
解得：DP₁=，
故P₁的坐标为（3，-4）；
若∠PCD=90°，此时∠P₂DC=∠BDE=∠BAC，
∴△ABC∽△DP₂C，
∴∠CP₂P₁=∠ABC，
∴△CP₂P₁∽△COB，
∴=，即=，
解得：P₁P₂=6，
故P₂的坐标为：（3，-10）；
综上可得：点P的坐标为：（3，-4）或（3，-10）．

（3）在抛物线的BC段上取点M，（如图）连接MC，MB，作MN⊥AB交BC于N，

设M的坐标为（x，（x-8）（x-2）），N的坐标为（x，x-4），
则MN==，
∴S_△BCM=MN×OB=-x²+8x=-（x-4）²+16，
∵a=-1＜0，
∴当x=4时，△BCM的面积最大，最大为16．
此时M的坐标为（4，-6）．
分析：（1）易得△AOC∽△COB，根据对应边成比例可求出OC，继而得出点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）分两种情况讨论，①∠CPD=90°，②∠PCD=90°，确定点P的纵坐标，即可得出答案．
（3）在抛物线的BC段上取点M，连接MC，MB，作MN⊥AB交BC于N，设点M的坐标为（x，（x-8）（x-2）），求出直线BC的解析式，可表示出点N的坐标，继而得出MN的长度，再由△BCM的面积=MN×OB，可得出S_△BCM关于x的表达式，利用配方法求最值即可．
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及配方法求最值的知识，综合性较强，解答本题需要具有扎实的基本功，将所学知识融会贯通，注意分类讨论思想及数形结合思想的运用．