Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC于G，BH⊥DC于H，CH=DH，点E在AB上，点F在BC上，并且EF∥DC．

（1）若AD=3，CG=2，求CD；

（2）若CF=AD+BF，求证：EF=CD．

Answer 1

解答：

（1）解：连BD，如图， ∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC， ∴四边形ABGD为矩形， ∴AD=BG=3，AB=DG， 又∵BH⊥DC，CH=DH， ∴△BDC为等腰三角形， ∴BD=BG+GC=3+2=5， 在Rt△ABD中，AB===4， ∴DG=4， 在Rt△DGC中， ∴DC===2．（2）证明：∵CF=AD+BF， ∴CF=BG+BF， ∴FG+GC=BF+FG+BF，即GC=2BF， ∵EF∥DC， ∴∠BFE=∠GCD， ∴Rt△BEF∽Rt△GDC， ∴EF：DC=BF：GC=1：2， ∴EF=DC．