Question

如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．

Answer 1

分析：（1）要证DE是⊙O的切线，必须证ED⊥OD，即∠EDB+∠ODB=90°
（2）要证AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，又BD⊥AC，所以△ABC为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再利用此结论，过E作EH⊥AC于H，求出EH、AE，即可求得sin∠CAE的值．

解答：（1）证明：连接O、D与B、D两点，
∵△BDC是Rt△，且E为BC中点，
∴∠EDB=∠EBD．（2分）
又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°．
∴DE是⊙O的切线．（4分）

（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，
若要四边形AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，
又∵BD⊥AC，
∴△ABC为等腰直角三角形．
∴∠CAB=45°．（6分）
过E作EH⊥AC于H，
设BC=2k，则EH=

2

2

K，AE=

5

K，（8分）
∴sin∠CAE=

EH

AE

=

10

10

．（10分）

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．