题目内容

如图，在直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点D位为斜边BC上的中点，点E、F分别在直角边AB、AC上运动，且保持BE=AF，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形AEDF不可能为正方形
③四边形AEDF的面积保持不变；
④EF长度的最小值为4
⑤△AEF面积的最大值为8．
其中正确的结论有（　　）
A、2个B、3个C、4个D、5个
考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形
专题：
分析：①连结AD，根据等腰直角三角形的性质就可以得出∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，∠ADB=90°．就可以得出△BDE≌△ADF，就可以得出∠1=∠2，DE=DF，得出∠EDF=90°而得出结论；
②当E、F是AB、AC的中点时，四边形AEDF是正方形；
③由△BDE≌△ADF可以得出四边形AEDF的面积等于△ABD的面积而得出结论；
④设BE=AF=x，根据勾股定理就可以得出EF=
x2+(8-x)2
=
2(x-4)2+32
，得出EF的最小值为4
2
，进而得出结论；
⑤设BE=AF=x，△AEF面积的S，由三角形的面积公式得S=
(8-x)x
2
=-
1
2
（x-4）2+8，故可以得出结论．
解答：解：①连结AD．
∵∠A=90°，AB=AC=8，
∴∠B=∠C=45°．
∵点D位为斜边BC上的中点，
∴∠BAD=∠CAD=45°，∠ADB=90°，BD=CD=AD=
1
2
BC．
在△BDE和△ADF中，
BD=AD
∠B=∠DAF
BE=AF
，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴∠1=∠2，DE=DF．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，故①正确；
②当E、F是AB、AC的中点时，
DE=AE=AF=DF=
1
2
AB=
1
2
AC．
∵∠EDF=90°，
∴四边形AEDF是正方形，故②错误；
③∵四边形AEDF的面积=S△AED+S△ADF，
∴四边形AEDF的面积=S△AED+S△BED．
∴四边形AEDF的面积=S△ABD=
8×8
2
=32，
∴四边形AEDF的面积保持不变，故③正确；
④设BE=AF=x，由勾股定理，得
EF=
x2+(8-x)2
=
2(x-4)2+32
，
当x=4时，EF的最小值为4
2
≠4，故④错误；
⑤设BE=AF=x，△AEF面积的S，由题意，得
S=
(8-x)x
2
=-
1
2
（x-4）2+8，
∵a=-
1
2
＜0，
∴抛物线的开口向下，有最大值，
∴x=4时，S最大=8，故⑤正确．
∴正确的共有3个．
故选B．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，勾股定理的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键．
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．
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B、
C、
D、
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A、
1
6
B、
1
3
C、
1
2
D、
2
3
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x
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