题目内容
如图，在△ABC中（AB≠AC），M为BC的中点，AD平分∠BAC交BC于D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，求证：ME=MF．分析：如图，延长CF交AB于点G，延长BE交AC的延长线于点H．根据三角形中位线定理证得MF=ME=
GB．
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解答：
证明：如图，延长CF交AB于点G，延长BE交AC的延长线于点H．
∵AF⊥GC，AD平分∠BAC，
∴AG=AC，GF=CF，
又∵点M是BC的中点，
∴MF是△BCG的中位线，
∴MF=
GB．
同理，ME=
HC．
∵AD平分∠BAC，BE⊥AD，
∴AB=AH，
∴BG=AB-AG=AH-AC=CH，即BG=CH，
∴MF=ME．
证明：如图，延长CF交AB于点G，延长BE交AC的延长线于点H．∵AF⊥GC，AD平分∠BAC，
∴AG=AC，GF=CF，
又∵点M是BC的中点，
∴MF是△BCG的中位线，
∴MF=
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同理，ME=
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∵AD平分∠BAC，BE⊥AD，
∴AB=AH，
∴BG=AB-AG=AH-AC=CH，即BG=CH，
∴MF=ME．
点评：本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质．解题的难点是作出图中的辅助线，构建等腰三角形．
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