Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的圆O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若CD=，∠ACB=30°，求OE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，AD=DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；

（2）解直角三角形求出BC、BD，求出AB得出OD，根据三角形的面积公式求出高DE，在△ODE中，根据勾股定理求出OE即可．

（1）证明：连接OD、BD，

∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AC，

∵AB=BC，

∴D为AC中点，

∵OA=OB，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴DE⊥OD，

∵OD为半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵CD=，∠ACB=30°，

∴cos30°=，

∴BC=2，

∴BD=BC=1，

∵AB=BC，

∴∠A=∠C=30°，

∵BD=1，

∴AB=2BD=2，

∴OD=1，

在Rt△CDB中，由三角形面积公式得：BC×DE=BD×CD，

1×=2DE，

DE=，

在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE==．