Question

（本小题满分14分）设函数
（1）当时，求的极值；
（2）当时，求的单调区间；
（3）当时，对任意的正整数，在区间上总有个数使得成立，试求正整数的最大值。

Answer 1

（1），没有极大值.
（2）综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为
（3）解析:
（1）先求出函数的定义域，再求出函数的导数，研究其单调性求出
其极值；（2）令=0，得，比较与的大小得和的范围，就得到了函数的单调区间；
（3）解本题的关键是要使在区间上总有个数使得成立，只需
即可。
解：（1）函数的定义域为 ……………………………………1分
当时，，∴………………2分
由得随变化如下表：

	—	0	+
	↘	极小值	↙

故，，没有极大值. …………………………4分
（2）由题意，
令得，………………………………………………6分
若，由得；由得…………7分
若，①当时，，或，；，
②当时，
③当时，或,;，
综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为
……………………………………………………………………10分
（3）当时，
∵，∴ ∴，
 ………………………………………………12分
由题意，恒成立。
令，且在上单调递增，
，因此，而是正整数，故，
所以，时，存在，时，对所有满足题意，∴