Question

已知a与b是两个正整数，且a＞b．请问：
（1）如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？
（2）如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？

Answer 1

考点：公约数与公倍数问题

专题：整除性问题

分析：（1）首先找出36的所有的因数，然后分类讨论，求出这两个正整数有多少种情况即可；
（2）首先找出120的所有的因数，然后分类讨论，求出这两个正整数有多少种情况即可．

解答： 解：（1）36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，
因为a、b的最小公倍数是36，且a＞b，可得
当a=36时，b=1、2、3、4、6、9、12、18，一共8种情况；
当a=18时，b=4、12，一共2种情况；
当a=12时，b=9，有1种情况；
当a=9时，b=4，有1种情况；
8+2+1+1=12（种），
所以这两个正整数有12种情况．
答：这两个正整数有12种情况．

（2）120的因数有1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60、120，
因为a、b的最小公倍数是120，且a＞b，可得
当a=120时，b=1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60，一共15种情况；
当a=60时，b=8、24、40，一共3种情况；
当a=40时，b=3、6、12、15、24、30，一共6种情况；
当a=30时，b=4、8、24，一共3种情况；
当a=24时，b=5、10、15、20，一共4种情况；
当a=15时，b=8，有1种情况；
15+3+6+3+4+1=32（种），
所以这两个正整数有32种情况．
答：这两个正整数有32种情况．

点评：此题主要考查了公倍数问题的应用，解答此题的关键是首先求出36、120的所有的因数，注意别漏数．