Question

3．三个自然数的最大公约数是10，最小公倍数是100，满足要求的三个数一共有8组．

Answer 1

分析 设三个数是10a，10b，10c，则abc三数互质，且最小公倍数是10，则a，b，c都是10的约数，10的约数是1，2，5，10，若有2个1，则还有一个一定是10，若只有一个1，则另两个可能是，2，5或2，10或5，10或10，10，若没有1，则若有2个2，则另一个必须是5，若只有1个2，则另两个可能是，5，5或5，10，若1和2都没有，则只有5和10，这样不符合abc三数互质，所以10a，10b，10c分别是：10，10，100；10，20，50；10，20，100；10，50，100；10，100，100；20，20，50，；20，50，50；20，50，100，有8组．

解答 解：10=2×5，100=2×2×5×5，
所以三个数中，质因数2有出现1次也有出现2次的，可能是2，2，2×2或2，2×2，2×2，同理，5也是，
若是2，2，2×2和5，5，5×5搭配，有2种情况，
所以共有2×4=8种情况，
10，10，100；10，20，50；10，20，100；10，50，100；10，100，100；20，20，50，；20，50，50；20，50，100，有8组．
答：满足要求的三数组共有8组．
故答案为：8．

点评 此题主要考查公约数与公倍数问题，根据最大公约数和最小公倍数确定原来三数是多少．