Question

如图，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．请问：三角形ABC的面积是多少？

Answer 1

考点：三角形的周长和面积

专题：平面图形的认识与计算

分析：观察图形可知，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是108，四边形PGCH的面积是135，四边形BEPF的面积是180．又因为四边形AIPD和四边形BEPF的高相等，所以它们的底的比就等于它们的面积之比，即DP：PE=108：180=3：5；则DG：GC=3：5，又因为三角形PDG与四边形PHCG高相等，所以三角形PDG的面积与四边形PHCG的面积的一半的比是3：5，据此即可求出三角形PDG的面积，同理，再求出三角形PEH和三角形PIF的面积，据此把三个平行四边形和三个三角形的面积都加起来即可求出三角形ABC的面积．

解答： 解：DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，
四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．
又因为四边形AIPD和四边形BEPF的高相等，
所以DP：PE=12：20=3：5；则DG：GC=3：5，
又因为三角形PDG与平行四边形PHCG高相等，
所以三角形PDG的面积与四边形PHCG的面积的一半的比是3：5，
所以三角形PDG的面积是：（15÷2）×3÷5=4.5，
同理：三角形PEH的面积与平行四边形PFBE的面积的一半的比是：5：4，
所以三角形PEH的面积是：（20÷2）×5÷4=12.5，
同理三角形PIF的面积与四边形PEBF的面积的一半的比是4：5，
所以三角形PIF的面积是：（20÷2）×4÷5=8，
12+20+15+4.5+12.5+8=72．
答：三角形ABC的面积是72．

点评：此题考查了三角形的面积与底成正比例的性质的灵活应用以及平行线分线段成比例的性质的灵活应用．