题目内容
如图,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC=1,矩形EHGF在三角形ABC内,且G、H在边BC上.求矩形EHGF的最大面积.
考点:组合图形的面积
专题:平面图形的认识与计算
分析:要使矩形EHGF的面积最大,则应使E、F在AB和AC的中点上,这时矩形的面积最大.
解答:
解:矩形EFGH的面积最大时,E和F应分别在AB和AC上,作BP⊥AB,CP⊥AC,BP与CP将于点P,四边形ABPC是正方形,延长EH交BP于W,延长FG交CP于Q,边长QW,AP分别交EF与U、V.
容易证明,四边形EFQW是顶点在正方形ABPC的边长上的矩形,并且在正方形ABPC内,设AE=x,则EB=1-x,
AE=AF=PW=PQ=x
EB=BW=FC=QC=1-x
于是
EW=UV,EU=AU,WV=VP
因此
EF+EW+WQ+QF=AP+BC=常数
即矩形EFQW的周长一定,在所在周长相同的矩形中,面积最大者为周长的正方形,此时AE:EB=1,因此矩形EFGH的面积最大为
S□EFGH=
S△ABC=
.
答:矩形EFGH的面积最大为
.
容易证明,四边形EFQW是顶点在正方形ABPC的边长上的矩形,并且在正方形ABPC内,设AE=x,则EB=1-x,
AE=AF=PW=PQ=x
EB=BW=FC=QC=1-x
于是
EW=UV,EU=AU,WV=VP
因此
EF+EW+WQ+QF=AP+BC=常数
即矩形EFQW的周长一定,在所在周长相同的矩形中,面积最大者为周长的正方形,此时AE:EB=1,因此矩形EFGH的面积最大为
S□EFGH=
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1 |
4 |
答:矩形EFGH的面积最大为
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点评:本题的关键是确定当矩形EFGH面积最大时它的面积与三角形ABC面积的关系.
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