题目内容
【题目】有10粒糖,每天至少吃一粒,吃完为止。共有多少种不同的吃法?
【答案】512
【解析】初看本题似乎觉得很好入手,比如可以按天数进行分类枚举:
1天吃完的有1种方法,这天吃10块;2天吃完的有9种方法,10=1+9=2+8=……=9+1;
当枚举到3天吃完的时,情况就有点错综复杂了,叫人无所适从……所以我们必须换一种角度来思考.
不妨从具体的例子入手来分析,比如这10块糖分4天吃完:
第1天吃2块;第2天吃3块;第3天吃1块;第4天吃4块.
我们可以将10个“○”代表10粒糖,把10个“○”排成一排,“○”之间共有9个空位,若相邻两块糖是分在两天吃的,就在其间画一条竖线(如下图).
○○|○○○|○|○○○○
比如上图就表示“第1天吃2块;第2天吃3块;第3天吃1块;第4天吃4块.”
这样一来,每一种吃糖的方法就对应着一种“在9个空位中插入若干个‘|’的方法”,要求有多少个不同的吃法,就是要求在这9个空位中插入若干个“|”的方法数。
由于每个空位都有画‘|’与“不画‘|’两种可能:
根据乘法原理,在这9个空位中画若干个“|”的方法数有:,这也就说明吃完10颗糖共有512种不同的吃法。
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