Question

如图是一个由许多完全相同的白色立方体构成的实心塔，共有20层，除了与桌子接触的那一面，塔的外表都被涂成了红色．如果将塔拆开，请问有多少个各面全都是白色的立方体？

Answer 1

考点：染色问题

专题：几何的计算与计数专题

分析：通过仔细观察，发现：按规律从上至下各面全是白色的立方体从第3层到20层各层分别有1²，2²，3²，…+17²，18²，因此共有白色的立方体共有：1²+2²+3²+…+17²+18²=2109（个）

解答： 解1²+2²+3²+…+17²+18²
=9×19²-2[（19-1）×1+（19-2）×2+（19-3）×3+…+（19-8）×8+（19-9）×9]=9×19²-2×[19×（1+2+3+…+8+9）-（1²+2²+3²+…+8²+9²）]
而：由等差数列求和公式可知：
1+2+3+…+8+9=45
1²+2²+3²+…+8²+9²
=1²+2²+3²+4²+5²+（10-4）²+（10-3）²+（10-2）²+（10-1）²
=1²+2²+3²+4²+5²+4*10²+1²+2²+3²+4²-2×10×（1+2+3+4）
=2×（1²+2²+3²+4²）+5²+4×10²-2×10×（1+2+3+4）
=60+25+400-200
=285
所以：9×19²-2×[19×（1+2+3+…+8+9）-（1²+2²+3²+…+8²+9²）]
=9×19²-2×（19×45-285）
=3249-1140
=2109（个）
答：有2109个各面全都是白色的立方体．

点评：计算时，先观察题目的特点：
1+18=19，2+17=19，3+16=19，4+15=19，5+14=19，6+13=19，
7+12=19，8+11=19，9+10=19
同时：1，2，3，4，5这些数的平方都很简单．