题目内容

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；
（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．
你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）

解：（1）由分析可知：EG=CG；
（2）

（1）中得到的结论没有发生变化，即EG=CG；
证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于点M，与EF的延长线交于N点，则四边形AENM为矩形．
在△DAG与△DCG中，
因为AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=CG，
所以△DAG≌△DCG（SAS）．
所以AG=CG．
在△DMG与△FNG中，
因为∠MDG=∠NFG，DG=FG，∠DGM=∠FGN，
所以△DMG≌△FNG（ASA）．
所以MG=NG．
因为四边形AENM为矩形，
所以AM=EN，∠AMG=∠ENG=90°．
在△AMG与△ENG中，
因为AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，
所以△AMG≌△ENG（SAS）．
所以AG=EG．
所以EG=CG．
（3）如下图，

（1）中的结论仍然成立．
分析：（1）由题意可知，△DEF和△DCF都是直角三角形，因为EG和CG分别是它们斜边上的中线，依据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，EG= $\text{[math]}$ DF，CG= $\text{[math]}$ DF，所以EG=CG；
（2）像这种有一定规律的题目，一般情况是结论不变．先猜想再证明即可；证明线段的相等，比较常见的方法是证明这两条线段所在的三角形全等，有时候还要添加辅助线构造三角形，本题也是，如下图添加辅助线，利用三角形全等证明即可．

（3）很明显本题体现了由特殊到一般的规律，既然不要求证明，答案一定是肯定的，否则本题就没有什么意义了．在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点．可以延长一倍EG到H，从而构造一个和△EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡．要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了．
点评：本题应该为中学的内容，考查了图形变化中的规律问题，难度较大．作出辅助线是解决的关键．