Question

现有四种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在三棱柱ABC-A₁B₁C₁各顶点上装一个灯泡，要求同一条棱两端点的灯泡颜色不相同，且每种颜色的灯泡都至少有一个，安装方法共有多少种？

Answer 1

考点：排列组合

专题：可能性

分析：根据题意，分3步进行，第一步，为A、B、C三点选灯泡的颜色，由排列数公式可得其情况数目，第二步，在A₁、B₁、C₁中选一个装第4种颜色的灯泡，第三步，为剩下的两个灯选颜色，分类讨论可得其情况数目，进而由分步计数原理，计算可得答案．

解答： 解：根据题意，每种颜色的灯泡都至少用一个，
即用了四种颜色的灯进行安装，分3步进行，
第一步，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A₄³种选法；
第二步，在A₁、B₁、C₁中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；
第三步，为剩下的两个灯选颜色，
假设剩下的为B₁、C₁，若B₁与A同色，
则C₁只能选B点颜色；若B₁与C同色，
则C₁有A、B处两种颜色可选．
故为B₁、C₁选灯泡共有3种选法，
即剩下的两个灯有3种情况，
则共有A₄³×3×3=216种方法．
答：安装方法共有216种．

点评：本题考查了分类计数原理与分步计数原理的运用，排列、组合在计数中的应用，合理分类，恰当分步是解决本题的关键．