题目内容
【题目】一个圆的圆周长为米,两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行.这两只蚂蚁每秒钟分别爬行
厘米和
厘米,在运动过程中它们不断地调头.如果把出发算作第零次调头,那么相邻两次调头的时间间隔顺次是1秒、3秒、5秒、……,即是一个由连续奇数组成的数列.问它们相遇时,已爬行的时间是多少秒?
【答案】49秒
【解析】(法1)找路程规律.通过处理,找出每次爬行缩小的距离关系规律.两只蚂蚁相距米
厘米,相向爬行1秒距离缩小
(厘米).如果不调头,需要
(秒)相遇;
第1轮爬行1秒,假设向上半圆方向爬,距离缩小厘米;
第2轮爬行3秒,调头向下半圆方向爬,距离缩小厘米;
第3轮爬行5秒,调头向上半圆方向爬,距离缩小厘米;……
每爬行1轮距离缩小厘米,所以爬行7轮后相遇,时间是
(秒).
(法2)对于这种不断改变前进方向的问题,可以先看简单的情况:
在一条直线上,如上面的图形,一只蚂蚁先从点出发向右走,然后按照经过1秒、3秒……改变方向.由于它的速度没有变化,可以认为蚂蚁每秒钟走一格.
第一次改变方向时,它到,走1格,
格;
第二次改变方向时,它到,走3格,
格;
第三次改变方向时,它到,走5格,
格;
第四次改变方向时,它到,走7格,
格;
第五次改变方向时,它到,走9格,
格.
不难发现,小蚂蚁的活动范围在不断扩大,每次离点都远了一格.当两只蚂蚁活动范围重合时,也就是它们相遇的时候. 另外从上面的分析可以知道,每一次改变方向时,两只蚂蚁都在出发点的同一侧.这样,通过相遇问题,可以求出它们改变方向的次数,进而求出总时间.
由于每一次改变方向时,两只蚂蚁之间的距离都缩短厘米.
所以,到相遇时,它们已改变方向:次,也就是在第7次要改变方向时,两只蚂蚁相遇,用时:
(秒).
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