Question

1．求这个式子和的整数部分是多少？

Answer 1

分析 先把$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$+$\frac{4}{5}$+…+$\frac{14}{15}$+$\frac{15}{16}$变为1-$\frac{1}{2}$+1-$\frac{1}{3}$+1-$\frac{1}{4}$+1-$\frac{1}{5}$+…+1-$\frac{1}{15}$+1-$\frac{1}{16}$，根据放缩法进一步解答即可．

解答 解：另$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$+$\frac{4}{5}$+…+$\frac{14}{15}$+$\frac{15}{16}$=A
A=1-$\frac{1}{2}$+1-$\frac{1}{3}$+1-$\frac{1}{4}$+1-$\frac{1}{5}$+…+1-$\frac{1}{15}$+1-$\frac{1}{16}$
=15-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{16}$）
=15-[1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$）+（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{16}$）]
=15-[1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{8}$）+（$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{16}$）]
＞15-[1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$）+（$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{16}$）]
=15-[1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{4}$×2）+（$\frac{1}{8}$×4）+（$\frac{1}{16}$×8）]
=15-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$）
=15-3
=12

另一方面，
A=15-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{16}$）
=15-[1+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+）+（$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{8}$）+（$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{11}$）+（$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{13}$+$\frac{1}{14}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{16}$）]
＜15-[1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$）+（$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$）+（$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{12}$）]
=15-[1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{3}$×3）+（$\frac{1}{6}$×3）+（$\frac{1}{9}$×3）+（$\frac{1}{12}$×5）]
=15-[1+$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{5}{12}$]
=15-3$\frac{3}{4}$
=13$\frac{1}{4}$
综上，得：
12＜A＜13$\frac{1}{4}$不难看出，A的整数部分是13．
答：这个式子和的整数部分是13．

点评 考查了分数的巧算．本题根据数据特点先变式为1-$\frac{1}{2}$+1-$\frac{1}{3}$+1-$\frac{1}{4}$+1-$\frac{1}{5}$+…+1-$\frac{1}{15}$+1-$\frac{1}{16}$，然后再根据放缩法进一步解答．