题目内容
【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆
的左焦点为
,离心率为
,过点
且垂直于长轴的弦长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点分别是椭圆的左、右顶点,若过点
的直线与椭圆相交于不同两点
.
①求证:;
②求面积的最大值.
【答案】(1);(2)(ⅰ)见解析;(ⅱ)
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据离心率与垂直于长轴的弦长列出方程,求得的值,从而得到椭圆方程;(II)方法一:(i)分直线
的斜率是否为0讨论,当
时,设
,直线
的方程为
,联立椭圆方程,结合判别式求得
的范围,从而由
使问题得证;(ii)由
=
结合(ⅰ)用韦达定理写出表达式,利用基本不等式求出最大值;方法二:(i)由题意知直线
的斜率存在,设其方程为
,联立椭圆方程,由判别式求得
的取值范围,从而由
使问题得证;(ii)由弦长公式求得
,用点到直线的距离求得边
上的高线长,从而得到
的表达式,进而用换元法求解.
试题解析:解:(1), 又
,
所以.
所以椭圆的标准方程为
(2)(i)当AB的斜率为0时,显然,满足题意
当AB的斜率不为0时,设,AB方程为
代入椭圆方程
整理得,则
,所以
,
,即
(ii)
当且仅当,即
.(此时适合△>0的条件)取得等号.
三角形
面积的最大值是
方法二(i)由题知,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为:,
设,联立
,整理得
,
则,所以
,
,即
(ii)
点到直线
的距离为
,
=
.
令,则
,
当且仅当,即
(此时适合△>0的条件)时,
,即
三角形
面积的最大值是
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