Question

如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7．点P是BD上一动点，则PE+PC的最小值是

13

．

Answer 1

分析：如下图所示，BE'=BE=5，E'是E关于BD的对称点，E'C交BD与P，PE'=PE，此时PE+PC=PE'+PC=E'C最小，因为两点之间线段最短．

解答：解：在BA上找一点E'使BE'=BE=5，则在等腰直角三角形E'BE中BD是顶角的角平分线，底边E'E的垂直平分线，所以E'是E的关于BD的对称点，PE=PE'，PE+PC=PE'+PC=E'C，两点之间线段最短，所以此时PE+PC最小．
在直角△E'BC中，根据直角三角形两直角边的平方和会等于斜边的平方，E'C²=BE'²+BC²，
5×5+12×12
=25+144
=169；
因为，13×13=169，
所以E'C=13；
答：则PE+PC的最小值是 13．
故答案为：13．

点评：此题考查了最大和最小，找到E的对称点，利用两点之间线段最短，或在三角形中，两边之和大于第三边，都可以解决此问题．