Question

在平面内，旋转变换试指某一个图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．

活动一：如图①，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF是正方形，在求阴影部分面积时，小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图②所示），小明一眼就看到答案，请你写出阴影部分的面积______．
活动二：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图④所示），则：
（1）四边形AECG是怎样的特殊四边形？答：______；
（2）AE的长是______．
活动三：如图⑤，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，连接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面积．

Answer 1

解：活动一：
因为四边形DECF是正方形，
所以DE=DF=x，DE∥BC，DF∥AC，
所以=，=，
因为AD=2，BD=1，
所以AC=3x，BC=x，
因为AC²+BC²=AB²，
所以9x²+（x）²=9，
解得：x=，
所以DE=DF=，AE=，BF=，
所以S_△ADE+S_△BDF=1，
所以S_阴影=1；
故答案为：1；

活动二：根据题意得：∠EAG=90°，
因为AE⊥BC，
所以∠AEB=∠AEC=∠G=90°，
所以四边形AECG是矩形，
因为AE=AG，
所以四边形AECG是正方形，
因为BC=5，CD=3，
所以设AE=x，则BE=GD=CG-CD=x-3，
BE=BC-EC=5-x，
所以x-3=5-x，
解得：x=4，
所以AE=4．
故答案为：正方形；4．

活动三：过点B作BG⊥DC于点G，过点E作EF⊥AB与AB的延长线交于点F．
因为∠BAD=∠D=∠DGB=90°，
所以四边形ABGD是矩形，
所以DG=AB=2，
所以CG=DC-DG=4-2=2．
因为∠CBG+∠CBF=90°，∠EBF+∠CBF=90°，
所以∠CBG=∠EBF．
在△BCG与△BEF中，∠CBG=∠EBF，∠CGB=∠EFB=90°，BC=BE，
所以△BCG≌△BEF，
所以CG=EF=2．
所以S_△ABE=AB?EF=2．
分析：（1）根据旋转的性质可知△DBF≌△DGE，则DG=BD=1，那么阴影部分的面积=Rt△ADG的面积=×AD×DG；
（2）根据旋转的性质可知△ABE≌△ADG，得出∠AEB=∠G=90°，BE=DG，AE=AD．在四边形AECD中，有∠AEC=∠C=∠G=90°，则四边形AECD是矩形，又AE=AD，则矩形AECD是正方形；设BE=x，则DG=x，EC=CG=DG+CD=x+3，BC=BE+EC=x+x+3=5，求出x，进而得出AE的长；
（3）过点B作BG⊥DC于点G，过点E作EF⊥AB与AB的延长线交于点F，通过证明△BCG≌△BEF，从而得出S_△ABE的值．
点评：本题主要考查了旋转变换及其性质．在解题中进行旋转变换的目的在于通过旋转变换可以使图形发生重组，使分散的条件得以集中，然后运用旋转的“不变性”可以使一些问题迎刃而解．一般来说，当图形中有“共点等边”的图形时，常进行旋转变换．