1.3.1利用导数判断函数的单调性
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学习目标： 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法  学习重点难点： 利用导数判断函数单调性 .自主学习 一、知识再现： 1. 函数的单调性. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时， 都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个 数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间 I上的减函数. 2. 导数的概念及其四则运算 二、新课探究： 1、定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在 这个区间内   0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内  0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 2、用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f(x)的导数f′(x). ②令f′(x) 0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x) 0解不等式，得x的范围，就是递减区间.3、例题解析： 例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函 数. 解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2. 令2x－2＞0，解得x＞1. ∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 令2x－2＜0，解得x＜1. ∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数. 例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减 函数. 解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x 令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0 ∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2. ∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数. 例3证明函数f(x)=  在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2. f(x1)－f(x2)=  ∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0∵x1＜x2，∴x2－x1＞0， ∴  ＞0∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2) ∴f(x)=  在(0，+∞)上是减函数.证法二：(用导数方法证) ∵f′(x)=( )′=(－1)·x－2=－ ，x＞0，∴x2＞0，∴－ ＜0.
∴f′(x)＜0，∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.例4求函数y=x2(1－x)3的单调区间. 解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1) =x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x) 令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜  . ∴y=x2(1－x)3的单调增区间 是(0， ) 令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1.∵  为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞)例5.求  的单调递增区间解：由函数的定义域可知，  即 又   所以  令  ，得 或 综上所述，  的单调递增区间为(0，1)课堂巩固： 1.函数  的单调递增区间是( )A  B  C  D  2.已知函数  ，则它的单调递减区间是( )A.  B. C. D.及 3. 函数   的单调递增区间是__________________.4.当 
时， 在 上是减函数.归纳反思： 合作探究： 1.求函数  的单调区间2.已知函数  的图象过点 ，且在点 处的切线方程为 。(1)求函数  的解析式；(2)求函数 的单调区间。 |
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