[例1](2003春北京)已知函数f(x)=,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.

解:由cos2x≠0得2xkπ+,解得x+(k∈Z).

所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x+k∈Z}.

因为f(x)的定义域关于原点对称,且

f(-x)=

==f(x),

所以f(x)是偶函数.

又当x+(k∈Z)时,

f(x)=

==3cos2x-1=

所以f(x)的值域为{y|-1≤yy≤2}.

提炼方法:对复杂的函数式,要先化简为Asin(ωx+φ)+m,或Acos(ωx+φ)+m的形式,再讨论性质.

[例2] 锐角xy满足sinycscx=cos(x+y)且x+y,求tany的最大值.和取最大值时角x的集合.

解:∵sinycscx=cos(x+y),

∴sinycscx=cosxcosy-sinxsiny

siny(sinx+cscx)=cosxcosy.

∴tany=====

当且仅当tanx=时取等号.

∴tany的最大值为.对应角x的集合为

◆   提炼方法:先由已知变换出tany与x的函数关系,再用不等式求最值;是三角、函数、不等式知识的综合应用。

[例3](2006辽宁)已知函数.求:

(I)函数的最大值及取得最大值的自变量的集合;

(II)函数的单调增区间.

(I)解法一:    

                 

                   

∴当,即时,取得最大值

因此,取得最大值的自变量的集合是

解法二:

            

              

∴当,即时,取得最大值

因此,取得最大值的自变量的集合是

(II)解:

由题意得

因此,的单调增区间是

[例4]是否存在实数a,使得函数在闭区间上的最大值是1?若存在,求出对应的a值?若不存在,试说明理由。

解:

时,,令

综上知,存在符合题意。

思维点拨:化,闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。

[研讨.欣赏](2003江苏)已知函数上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数.求的值。

解:由是偶函数,得,即

所以,

对任意x都成立,且,所以得

依题设,所以解得.

的图象关于点M对称,得

所以

…,

….

k=0时,上是减函数;

k=1时,上是减函数;

时,上不是单调函数.

所以,综合得.

 0  441998  442006  442012  442016  442022  442024  442028  442034  442036  442042  442048  442052  442054  442058  442064  442066  442072  442076  442078  442082  442084  442088  442090  442092  442093  442094  442096  442097  442098  442100  442102  442106  442108  442112  442114  442118  442124  442126  442132  442136  442138  442142  442148  442154  442156  442162  442166  442168  442174  442178  442184  442192  447090 

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