22.(安徽卷)如图，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R=0.2m的半圆，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E=5.0×10³V/m。一不带电的绝缘小球甲，以速度υ₀沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为m=1.0×10^-2kg，乙所带电荷量q=2.0×10^-5C，g取10m/s²。(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移)

(1) 甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；

(2)在满足(1)的条件下。求的甲的速度υ₀；

(3)若甲仍以速度υ₀向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围。

[答案](1)0.4m　　 (2)　　 (3)＜＜

[解析](1)在乙恰好能通过轨道的最高点的情况下，设乙到达最高点的速度为，乙离开D点达到水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为，则

　　　　　　　　　　 　　　　　　　　①

　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

联立①②③得：　　　　　　　　　　　　　　 ④

(2)设碰撞后甲、乙的速度分别为、，根据动量守恒和机械能守恒定律有：

　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

　　　　　　　　　　　 ⑥

联立⑤⑥得：　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦

由动能定理得：　 ⑧

联立①⑦⑧得：　　　　　 ⑨

(3)设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为、，根据动量守恒和机械能守　　 恒定律有：

　　　　　　　　　　　　　　　 (10)

　　　 　　　　　　　　　(11)

联立(10)(11)得：　　　　　　　　　　　 (12)

由(12)和，可得：＜　　　　　　　　 (13)

设乙球过D点的速度为，由动能定理得

　　　　　　　　 (14)

联立⑨(13)(14)得：＜　　　　　　　　　 (15)

设乙在水平轨道上的落点到B点的距离为，则有

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (16)

联立②(15)(16)得：＜＜

21.(安徽卷)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为和的圆轨道上运动时，周期分别为和。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出

A．火星的密度和火星表面的重力加速度

B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力

C．火星的半径和“萤火一号”的质量

D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

[答案]A

[解析]由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有

；，

可求得火星的质量

和火星的半径，

根据密度公式得：

。

在火星表面的物体有，可得火星表面的重力加速度，故选项A正确。

21.(四川卷)如图所示，空间有场强的竖直向下的匀强电场，长的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量的不带电小球，拉起小球至绳水平后，无初速释放。另一电荷量、质量与相同的小球，以速度水平抛出，经时间与小球与点下方一足够大的平板相遇。不计空气阻力，小球均可视为质点，取。

(1)求碰撞前瞬间小球的速度。

(2)若小球经过路到达平板，此时速度恰好为0，求所加的恒力。

(3)若施加恒力后，保持平板垂直于纸面且与水平面的夹角不变，在点下方面任意改变平板位置，小球均能与平板正碰，求出所有满足条件的恒力。

[解析](1)P做抛物线运动，竖直方向的加速度为

在D点的竖直速度为

P碰前的速度为

(2)设在D点轻绳与竖直方向的夹角为，由于P与A迎面正碰，则P与A速度方向相反，所以P的速度与水平方向的夹角为有

，=30°

对A到达D点的过程中根据动能定理

化简并解得

P与A迎面正碰结合为C，根据动量守恒得

解得　　 　m/s

小球C经过s速度变为0，一定做匀减速运动，根据位移推论式

　　m/s2

设恒力F与竖直方向的夹角为α，如图，根据牛顿第二定律

给以上二式带入数据得

解得　

α=30°

(3)平板足够大，如果将平板放置到无限远根据题意也能相碰，此时小球C必须匀速或加速不能减速，所以满足条件的恒力在竖直线与C的速度线之间，设恒力与竖直方向的夹角为β，则

0≤β＜120°

在垂直速度的方向上，恒力的分力与重力和电场力的分力等大反向，有

则满足条件的恒力为

　 (其中0≤β＜120°)

20.(四川卷)a是地球赤道上一幢建筑，b是在赤道平面内作匀速圆周运动、距地面9.6m的卫星，c是地球同步卫星，某一时刻b、c刚好位于a的正上方(如图甲所示)，经48h，a、b、c的大致位置是图乙中的(取地球半径R=6.4m，地球表面重力加速度g=10m/，=)

[答案]B

[解析]b、c都是地球的卫星，共同遵循地球对它们的万有引力提供向心力，是可以比较的。a、c是在同一平面内有相同奇偶奥速度转动的，也是可以比较的，在某时刻c在a的正上方，则以后永远在正上方。对b有，GM=R²，化简得

在48小时内b转动的圈数为=8.64，所以B正确。

19.(浙江卷)在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为滑的道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节(取;g=10m/s²)。求：

(1)运动员到达B点的速度与高度h的关系；

(2)运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离S_BH为多少？

(3若图中H＝4m，L＝5m，动摩擦因数＝0.2，则水平运动距离要达到7m，h值应为多少？

[解析](1)设斜面长度为L₁，斜面倾角为α，根据动能定理得

　　　　　　　　　　　　　　 　　　①

即　　 　　　　　　　　　　　　　　　②

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

(2)根据平抛运动公式

X=v_ot　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　④

h=gt²　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　⑤　

由③-⑤式得　 　　　　　　　　　　　　　　　⑥

(3)在⑥式中令x=2m ,H=4m,L=5m, =0.2

则可得到：-h²+3h-1=0

求出　

18.(浙江卷)宇宙飞船以周期为T绕地地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球处置周期为T。太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为，则

A. 飞船绕地球运动的线速度为

B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T₀

C. 飞船每次“日全食”过程的时间为

D. 飞船周期为T=

[答案]AD

17.(重庆卷)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地。如题24图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d,重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。

(1)求绳断时球的速度大小和球落地时的速度大小。

(2)向绳能承受的最大拉力多大？

(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？

[解析](1)设绳段后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有

竖直方向，

水平方向

得

由机械能守恒定律，有

得

(2)设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小。

球做圆周运动的半径为

由圆周运动向心力公式，有

得　　

(3)设绳长尾l，绳断时球的速度大小为，绳承受的最大推力不变，

有　 　　得

绳断后球做平抛运动，竖直位移为，水平位移为x，时间为

有　　

得　　

当时，有极大值，

16.(重庆卷)月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成 的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为

A　 1：6400　　　　 B　 1：80

C　 80：1　　　　　 D 6400：1

[答案]C

[解析]月球和地球绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等。且月球和地球和O始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有，所以，线速度和质量成反比，正确答案C。

15.(山东卷)1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点和运地点的高度分别为439km和2384km，则

A．卫星在点的势能大于点的势能

B．卫星在点的角速度大于点的角速度

C．卫星在点的加速度大于点的加速度

D．卫星在点的速度大于7．9km/s

[答案]BC

[解析]A．根据，因为＜，所以＜，A错误；

B．根据，因为＞，且＜，所以＞，B正确；

C．根据，因为＜，所以＞，C正确；

D．根据，因为＞R，R为地球半径，所以＜7．9km/s，D错误。

本题考查万有引力定律和圆周运动。

难度：中等。

14.(福建卷)火星探测项目我过继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为，神州飞船在地球　　 表面附近圆形轨道运行周期为，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半　　 径之比为q，则、之比为

　A.　　　 B. 　　　　C. 　　　D.

[答案]D

[解析]设中心天体的质量为M，半径为R，当航天器在星球表面飞行时，由

和，

解得，即；

又因为，所以，。

[命题特点]本题关注我国航天事业的发展，考查万有引力在天体运动中的应用，这也几乎是每年高考中必考的题型。

[启示]本类型要求考生熟练掌握万有引力定律在处理有关第一宇宙速度、天体质量和密度、周期与距离以及同步卫星的方法，特别要关注当年度航天事件。