8．设函数f(x)＝x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①c＝0时，f(x)是奇函数；②b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③f(x)的图象关于(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．其中正确的命题是__________．

解析：c＝0时，f(－x)＝－x|－x|+b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函数；b＝0，c>0时，f(x)＝x|x|+c＝0，∴x≥0时，x²+c＝0无解，x<0时，f(x)＝－x²+c＝0，∴x＝－，有一个实数根．答案：①②③

7．(2010年辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)＝若f(0)＝－2f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)+x的零点的个数为__________．

解析：∵f(0)＝1，∴c＝1.又f(－1)＝－，∴－1－b+1＝－，∴b＝.当x>0时，g(x)＝－2+2x＝0，∴x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x²+x+1+x＝0，∴x²－x－1＝0，∴x＝2(舍)或x＝－，所以有两个零点．答案：2

6．(2009年高考江西卷改编)设函数f(x)＝(a<0)的定义域为D，若所有点(s，f(t))

(s，t∈D)构成一个正方形区域，则a的值为__________．

解析：由题意定义域D为不等式ax²+bx+c≥0的解集．∵ax²+bx+c＝a(x+)²+，∵a<0，∴0≤y≤ ，∴所有点(s，f(t))，(s，t∈D)构成一个正方形区域，意味着方程ax²+bx+c＝0的两根x₁，x₂应满足|x₁－x₂|＝ ，由根与系数的关系知＝－＝，∴4a＝－a².∵a<0，∴a＝－4.答案：－4

5．(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝若f(2－a²)>f(a)，则实数a的取值范围是__________．

解析：函数f(x)＝的图象如图．　　　　　　　　　　　　　　　　

知f(x)在R上为增函数．

∵f(2－a²)>f(a)，即2－a²>a.

解得－2<a<1.

答案：－2<a<1

4．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为__________．

解析：由f(－4)＝f(0)，得b＝4.又f(－2)＝0，可得c＝4，∴或可得－3≤x≤－1或x>0.答案：{x|－3≤x≤－1或x>0}

3．(2010年广东江门质检)设k∈R，函数f(x)＝F(x)＝f(x)+kx，x∈R.当k＝1时，F(x)的值域为__________．

解析：当x>0时，F(x)＝+x≥2；当x≤0时，F(x)＝e^x+x，根据指数函数与幂函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以k＝1时，F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，+∞)．答案：(－∞，1]∪[2，+∞)

2．(2010年安徽蚌埠质检)已知幂函数f(x)＝x^α的部分对应值如下表：

则不等式f(|x|)≤2的解集是__________．

解析：由表知＝()^α，∴α＝，∴f(x)＝x.∴(|x|)≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.

答案：{x|－4≤x≤4}

1．(2010年江苏无锡模拟)幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－)，则满足f(x)＝27的x的值是__________．

解析：设幂函数为y＝x^α，图象经过点(－2，－)，则－＝(－2)^α，∴α＝－3，∵x^－3＝27，∴x＝.答案：

6．(2009年高考江苏卷)设a为实数，函数f(x)＝2x²+(x－a)·|x－a|.

(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；

(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，+∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．

解：(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0，即a<0.由a²≥1知a≤－1.因此，a的取值范围为(－∞，－1]．

(2)记f(x)的最小值为g(a)．则有f(x)＝2x²+(x－a)|x－a|

＝

(ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a²，由①②知f(x)≥－2a²，此时g(a)＝－2a².

(ⅱ)当a<0时，f()＝a².若x>a，则由①知f(x)≥a²；

若x≤a，则x+a≤2a<0，由②知f(x)≥2a²>a².此时g(a)＝a².

综上，得g(a)＝

(3)(ⅰ)当a∈(－∞，－]∪[，+∞)时，解集为(a，+∞)；

(ⅱ)当a∈[－，)时，解集为[，+∞)；

(ⅲ)当a∈(－，－)时，解集为(a，]∪[，+∞)．

B组

5．(原创题)方程x＝log_sin1x的实根个数是__________．

解析：在同一坐标系中分别作出函数y₁＝x 和y₂＝log_sin1x的图象，可知只有惟一一个交点．答案：1