21．(本小题满分14分)证明：(1)设，

且函数的图象在上是连续的，

在上至少有一个零点，即方程在内至少有一个根.……… 3分

，，在上是增函数.

方程在内有唯一根，且根在内，即.………… 5分

(2)方法一：

且函数的图象在上是连续的，

在内至少有一个零点，即方程在内至少有一个根.　

又由(1)知函数在上单调递增，

方程在内有唯一根，.……………………… 8分

，．　　　　　 …………………………………… 9分

方法二：由(1)知，两式相减得：

　　 …………………………………7分

若存在，使得，则，从而，矛盾.

所以.　　　　　 ……………………………………… 9分

(3)由题设得，

当时，.　　　　　　　　　

．　…………………………12分

当时有

…

．

综上．……………………………　 14分

20．(本小题满分14分)解：(1)．　　……1分

①当时，，

　　 　在单调递增，在单调递减；…………3分

　 ②当，即时，对恒成立

　　 在上单调递减； 　　……………………………………………… 5分

③当时，

或

　 上单调递增，

　　 在和上单调递减；　 …………………… 7分

综上所述，当时，在上单调递减，

当时，在上单调递增，

在和上单调递减.

当时，在单调递增，在上单调递减.　　 …………8分

(2)由(1)知，当在上单调递减，

当时，由得 　　　……………………………10分

　　……………………………14分

19．(本小题满分14分)解：(1)以直线为轴，线段的中点为原点，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则 　……… 1分

，

依题意，曲线段是以、为左、右焦点，长轴长为的椭圆的一部分．… 3分

故曲线段的方程为．　　 …… 6分

(2)设这样的直线存在，由直线与曲线段只有一个交点，

知直线存在斜率，设直线的方程为即

将其代入得

　① 　　　　…………………… 9分

设，则由

知解得　　 　…………………12分

当时，方程①化为：，解得

即，适合条件．

故直线存在，其方程为即　 　……………… 14分

18．解:方法一：(1)记与的交点为,连接,

　∵、分别是、的中点，是矩形，

∴四边形是平行四边形，∴∥.

∵平面BDE，平面，

∴∥平面. 　　………………… 4分

(2)在平面中过作于，连结，

， ∴⊥平面，

∴⊥，又　 平面　 ，

∴是二面角的平面角. 　　　　　……………………………………… 6分

在中，∴

∴二面角的大小为. 　　　　……………………………………………… 9分

(3)设(),作于Q，则∥，

∵，，，

∴⊥平面，平面，∴.　

在中，，.

∵为等腰直角三角形，∴

又∵Δ为直角三角形，∴，

∴ 或(舍去)．

∴点是的中点. 　…………… 14分

方法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系.设，连接，

则点、的坐标分别是(、,∴(,

又点、的坐标分别是()、(，∴=(

∴=且与不共线，∴∥.

又∵平面BDE，平面，∴∥平面. 　　………………… 4分

(2)，∴⊥平面.

∴为平面的法向量.

∵=(·=0，

∴·=(·，

　得,　 ∴为平面的法向量.

∴<,>，∴与的夹角是.

即所求二面角的大小是. 　　……………………………… 9分

(3)设 ，得，∴，

又∵和所成的角是. ，

解得或(舍去)，即点是的中点.……14分

解：(1) ，

．…… 4分

由题意，函数的最小正周期为，又＞0，． ……………6分

(2) 由(1)知，，

当即时，取得最大值 　　　……………………………… 9分

当即时，取得最小值　　 　　　………………………12分

17．解：(1)两次抽取的球的分值构成的有序数对共有对，其中分值之和为的有对，分值之和为的有两对，分值之和为的有对，所以每位会员获奖的概率为

　　 ．……………………4分

(2)设每位来宾抽奖后，休闲宾馆的获利的元数为随机变量，则的可能取值为、、．………5分

　 　…8分

则宾馆获利的期望为．

若这次活动会馆既不赔钱也不赚钱，则=0，即，

所以，.　 　　………………………………11分

答：(1)每位会员获奖的概率为；(2)应为元．　　 　…………………………12分

9. ；　 10.　 ； 　11. 或； 　12. ；　 13. ；　 14. ； 15. ．