.

. 又因为 ，所以

②若，则直线在双曲线右支的上方，故，从而

    ①若，则直线与双曲线的右支相交，此时双曲线的右支上有两个点到直线的距离为1，与题意矛盾；

即点到直线的距离 

 的点，结合 ，得，

   （2）依题意，直线 的方程为 .设是双曲线右支上满足

        双曲线的方程为.

解：（1）设双曲线的方程为，将点代入可得，

（2）设直线过点，其方向向量为，令向量满足.双曲线的右支上是否存在唯一一点，使得. 若存在，求出对应的值和的坐标；若不存在，说明理由.