若1< a <, 则当y = －1时, | PQ | 取最大值2 .

    解法2:

    若a ≥, 则≤1, 当y = 时, | PQ | 取最大值;

       = (1)  + 1 + .

    因为 | y | ≤ 1, a > 1,

       = (1)－2y + 1 +

 = (1) + －2y + 1

    又因为Q在椭圆上, 所以  = (1) .

    解法1:  依题意可设 P (0, 1 ), Q (x , y ), 则| PQ | = .

    [解答分析] 要求| PQ |的最大值, 为方便, 对加以讨论. 首先需写出点P、Q的坐标. 因Q在椭圆上, 通过消元法消去中的一个未知数(这里消x), 得到关于y的表达式, 是一个y的二次式, 配平方. 其中有参数a, 需结合此椭圆的性质分类讨论, 从而求出| PQ |的最大值.

    本题属于难题, 区分度较好. 六道解答题中, 本题不能入门得0分者最多, 达57%. 除此之外, 得分主要分布在1~6分. 仅写出P、Q的坐标得1~2分者有约五分之一, 能写出| PQ |的表达式并消元得5~6分者有7%, 进一步将的表达式配平方, 而未加讨论写出| PQ |的最大值得8~9分者有7%, 基本完成解答, 得10分及其以上者有3%, 得满分者为1.3%.

    [考查意图] 本题主要考查椭圆的基本知识、两点间的距离及综合分析问题的能力.

   0.13