，即  ，

解 (Ⅰ) 焦点在y轴上，故设椭圆方程为 ，（），由题设条件得，且，即b=2，a =1，所以曲线C的方程为

本小题属于中等题, 区分度较好.得0分者约占18%, 会求椭圆方程得1~4分者有约50%, 会求导数和切线斜率得5~6分者有10.5%, 正确求出切线方程以及进一步求解点M的轨迹方程得7~10分者有16%, 做到第(Ⅱ)问得11~12分者有5.5%. 

[考查意图] 本小题主要考查椭圆的几何性质、平面向量及切线方程、曲线方程等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.

[解答分析] 本小题第(Ⅰ) 问涉及到解析几何、平面向量和导数应用等多方面知识，同时出现椭圆方程、切线方程和点M的轨迹方程等多个方程，因此做第(Ⅰ)问需要我们清楚理解方程等有关的概念，熟练掌握有关的基本知识、常规方法，并能把他们联系在一起综合的运用. 解题思路是：设出切点P的坐标和M点坐标，求出椭圆方程和切线方程，然后求出A、B点坐标，再求出M点坐标与切点坐标的关系，消去切点坐标即可得点M的轨迹方程. 做第(Ⅱ)问需要一点运算技巧. 参考解答如下：

   0.32

   3.88

(Ⅰ) 点M的轨迹方程; (Ⅱ) 的最小值.

[抽样统计数据]

题号

满分

  平均分

   难度

  理(20)

    12

在平面直角坐标系xOy中, 有一个以F₁(0, ) 和F₂(0, )为焦点、离心率为的椭圆. 设椭圆在第一象限的部分为曲线C, 动点P在C上, C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B, 且向量 . 求:

(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2.

在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).

连结MC，作NH⊥MC于H，设H(0,λ, λ) (λ>0).

∴=(0,1－λ,－λ), =(0,1, ). ? = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,

∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 连结BH，则=(－1,, ),

∵?=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,

∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),

∴cos∠NBH= =  = .

    注：还可以分别以NA、NB、NC为x、y、z轴建立空间直角坐标系，但这需要先证明

l₂⊥平面ABN.

[错因分析] 缺少解答步骤：主要是在第(Ⅰ) 问中不证明l₂⊥平面ABN，在第(Ⅱ)问中不证明△ABC为正三角形或NC=NA=NB，或不证明∠NBH是所求的线面角，而是默认它们成立.

不按照题意回答问题：算出∠NBH的大小（用反三角函数表示），但不算它的余弦值.

线面角的概念不清楚：例如说“∠NBH或其补角是所求的线面角”.

找不到所求的线面角，或是按照定义作出了∠NBH，但是找不到H的位置，因而无法计算∠NBH的余弦值.

找错所求的线面角：例如把平面ABC的法向量与NB的夹角，说所求的线面角是∠NMC，是∠NBC，是∠MNB，是∠DBN（D为BC中点），是∠DME （D为BC中点，E为BN中点），等等.

计算错误：向量内积算错，列式运算错，线段长度看错等.

空间想象能力弱：如说“过B作BE∥AC交l₂于E”，其实这是不可能相交的.

[复习提示] 在解答立体几何题时，常有考生缺少证明步骤，比如本小题不证明l₂⊥平面ABN，其实这一步并不难，但是不写的话失分就较多. 在高考复习时，要注意练习写一个既简明又完整的解答或证明，哪些是必不可少的，那些是可以省略的，这从课本例题、老师讲的例题的解答中就可以学到.

理（20）（本小题满分12分）

在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .

解法二: 如图,建立空间直角坐标系M-xyz. 令MN=1, 则有A(-1,0,0)，B(1,0,0)，N(0,1,0),

(Ⅰ) ∵MN是 l₁、l₂的公垂线, l₁⊥l₂,

∴ l₂⊥平面ABN. ∴ l₂平行于z轴.

故可设C(0,1,m)，于是 =(1,1,m), =(1,－1,0).

∵ ?=1+(－1)+0=0  ∴AC⊥NB.

参考解答如下：

解法一: (Ⅰ) 由已知MN⊥l₁ , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.

又由已知l₂⊥MN, l₂⊥l₁ , MN∩l₁ =M, 可得l₂⊥平面ABN，

从而AN为AC在平面ABN内的射影. ∴AC⊥NB

（Ⅱ）∵  Rt△CNA≌Rt△CNB,

∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角.