已知数列{an}中，a1=

1

2

，点(n，2an+1-an)(n∈N*)在直线y=x上，
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{

Sn+λTn

n

}为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=n-k（n∈N^*，k∈R）满足：对任意的正整数n都有b_n＜a_n，求k的取值范围
（3）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数．令cn=1-

a

an

（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．

已知数列{a_n}中，a1=

1

2

，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，证明：{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{

Sn+λTn

n

}为等差数列？若存在，求出λ的值，并给出证明；若不存在，说明理由．

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；
②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}中，令bn=

1，  n=1 an+5 2 ，n≥2

，T_n=b121+b222+b323+…+bn2n，求T_n；
（3）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数．令cn=1-

a

an

（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．

已知函数f（x）=x²-ax+a（a∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和为S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i-c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数，令c_n=1-

a

an

（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．