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一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个备选项中,有且只有一项是符合要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
A
C
B
B
C
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题5分,共30分.其中13~15小题是选做题,考生只能选做两题,若三题全答,则只计算前两题得分.
9. 10. 11.
12.②③ 13.,
14., 15.,
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 解:(Ⅰ)因为,,所以
.
因此,当,即()时,取得最大值;
(Ⅱ)由及得,两边平方得
,即.
因此,.
17. 解:(Ⅰ)记“小球落入袋中”为事件,“小球落入袋中”为事件,则事件的对立事件为,而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故
,
从而;
(Ⅱ)显然,随机变量,故
,
.
18. 解: 建立如图所示的空间直角坐标系,
并设,则
(Ⅰ),,
所以,从而得
;
(Ⅱ)设是平面的
法向量,则由,及
,
得
可以取.
显然,为平面的法向量.
设二面角的平面角为,则此二面角的余弦值
.
19. 解:(Ⅰ)依题意,有(),化简得
(),
这就是动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)依题意,可设、、,则有
,
两式相减,得,由此得点的轨迹方程为
().
设直线:(其中),则
,
故由,即,解之得的取值范围是.
20. 解:(Ⅰ)依题意知:直线是函数在点处的切线,故其斜率
,
所以直线的方程为.
又因为直线与的图像相切,所以由
,
得(不合题意,舍去);
(Ⅱ)因为(),所以
.
当时,;当时,.
因此,在上单调递增,在上单调递减.
因此,当时,取得最大值;
(Ⅲ)当时,.由(Ⅱ)知:当时,,即.因此,有
.
21. 解:(Ⅰ),,;
(Ⅱ)依题意,得,,由此及得
,
即.
由(Ⅰ)可猜想:().
下面用数学归纳法予以证明:
(1)当时,命题显然成立;
(2)假定当时命题成立,即有,则当时,由归纳假设及
得,即
,
解之得
(不合题意,舍去),
即当时,命题成立.
由(1)、(2)知:命题成立.
(Ⅲ)
.
令(),则,所以在上是增函数,故当时,取得最小值,即当时,.
(,)
,即()
.
解之得,实数的取值范围为.
(不等式选讲选做题)已知点P是边长为的等边三角形内一点,它到三边的距离分别为x、y、z,则x、y、z所满足的关系式为________,x2+y2+z2的最小值是________.
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(选做题)本大题包括A,B,C,D共4小题,请从这4题中选做2小题. 每小题10分,共20分.请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A. 选修4-1:几何证明选讲
如图,是边长为的正方形,以为圆心,为半径的圆弧与以为直径的半⊙O交于点,延长交于.
(1)求证:是的中点;(2)求线段的长.
B.选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A,其中,若点在矩阵A的变换下得到.
(1)求实数的值;
(2)矩阵A的特征值和特征向量.
C. 选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆的极坐标方程为,
(1)过极点的一条直线与圆相交于,A两点,且∠,求的长.
(2)求过圆上一点,且与圆相切的直线的极坐标方程;
D.选修4-5:不等式选讲
已知实数满足,求的最小值;
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