第16题图

（2）因为三角形AOB为正三角形，所以，

，，       -----------------------------6分

所以=

     -------------------------10分

=.    --------------------------------------12分

17、（本题满分12分）

如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，

（Ⅰ）求证:平面；

（Ⅱ）求四棱锥的体积.

（Ⅰ）因为四棱锥的底面是边长为1的正方形，

所以，所以              ------------4分

又，

所以平面                        --------------------------------------8分

（Ⅱ）四棱锥的底面积为1，

因为平面，所以四棱锥的高为1，

所以四棱锥的体积为.                         --------------------12分

18.（本小题满分14分）

分组

频数

频率

50.5~60.5

4

0.08

60.5~70.5

0.16

70.5~80.5

10

80.5~90.5

16

0.32

90.5~100.5

合计

50

为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：

（Ⅰ）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；

（Ⅱ）补全频数条形图；

（Ⅲ）若成绩在75.5~85.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？

解：(1)

分组

频数

频率

50.5~60.5

4

0.08

60.5~70.5

8

0.16

70.5~80.5

10

0.20

80.5~90.5

16

0.32

90.5~100.5

12

0.24

合计

50

1.00

---------------------4分

(2) 频数直方图如右上所示--------------------------------8分

(3) 成绩在75.5~80.5分的学生占70.5~80.5分的学生的，因为成绩在70.5~80.5分的学生频率为0.2 ，所以成绩在76.5~80.5分的学生频率为0.1 ，---------10分

成绩在80.5~85.5分的学生占80.5~90.5分的学生的，因为成绩在80.5~90.5分的学生频率为0.32 ，所以成绩在80.5~85.5分的学生频率为0.16  -------------12分

所以成绩在76.5~85.5分的学生频率为0.26，

由于有900名学生参加了这次竞赛，

所以该校获得二等奖的学生约为0.26´900=234（人）       ------------------14分

19．（本小题满分14分）

抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，

（Ⅰ）求定点N的坐标；

（Ⅱ）是否存在一条直线同时满足下列条件：

① 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为；

② 被圆N截得的弦长为2；

解：（1）因为抛物线的准线的方程为

所以，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，             -----------2分

所以定点N的坐标为                              ----------------------------3分

（2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在，                -----------4分

设的方程为，                   ------------------------5分

以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为， ----6分

方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，   -------7分

即，解得，                -------------------------------8分

当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！            --------------9分

当时，的方程为               ----------------------------10分

由，解得点A坐标为，               ------------------11分

由，解得点B坐标为，          ------------------12分

显然AB中点不是，矛盾！                ----------------------------------13分

所以不存在满足条件的直线．                 ------------------------------------14分

方法2：由，解得点A坐标为，      ------7分

由，解得点B坐标为，        ------------8分

因为AB中点为，所以，解得，     ---------10分

所以的方程为，

圆心N到直线的距离，                   -------------------------------11分

因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！   ----13分

所以不存在满足条件的直线．               -------------------------------------14分

方法3：假设A点的坐标为，

因为AB中点为，所以B点的坐标为，         -------------8分

又点B 在直线上，所以，                ----------------------------9分

所以A点的坐标为，直线的斜率为4，

所以的方程为，                    -----------------------------10分

圆心N到直线的距离，                     -----------------------------11分

因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ---------13分

所以不存在满足条件的直线．              ----------------------------------------14分

20．（本小题满分14分）

观察下列三角形数表

                         1            -----------第一行

                       2    2         -----------第二行

                     3   4    3       -----------第三行

                   4   7    7   4     -----------第四行

                 5   11  14  11   5

…    …     　…    　 …

          …    …   　…    　…      …

假设第行的第二个数为，

（Ⅰ）依次写出第六行的所有个数字；

（Ⅱ）归纳出的关系式并求出的通项公式；

（Ⅲ）设求证：

解：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6； --------------2分

（2）依题意，   -------------------------------5分

    ------------------------7分

，

所以；    -------------------------------------9分

（3）因为所以  -------------11分

---14分

21．（本小题满分14分）

已知函数取得极小值.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：（1）直线l与曲线S相切且至少有两个切点；（2）对任意x∈R都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”.

试证明：直线是曲线的“上夹线”.

解：（I）因为，所以                        ---------------1分

，                  -------------------------------2分

解得，      --------------------------------------------------------------------3分

此时，

当时，当时，                   -------------------------5分

所以时取极小值，所以符合题目条件；                  ----------------6分

（II）由得，

当时，，此时，，

，所以是直线与曲线的一个切点；                     -----------8分

当时，，此时，，

，所以是直线与曲线的一个切点；                     -----------10分

所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点；

对任意x∈R，，

所以      ---------------------------------------------------------------------13分

因此直线是曲线的“上夹线”.     ----------14分