如图半径分别为m，n(0＜m＜n)的两圆⊙O₁和⊙O₂相交于P，Q两点，且点P(4，1)，两圆同时与两坐标轴相切，⊙O₁与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O₂与x轴，y轴分别切于点R，点H．

(1)求两圆的圆心O₁，O₂所在直线的解析式；

(2)求两圆的圆心O₁，O₂之间的距离d；

(3)令四边形PO₁QO₂的面积为S₁，四边形RMO₁O₂的面积为S₂．

试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，亲、请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．