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一、选择题(每小题5分,共60分)
BDACC ACDDB AA
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.; 14. 15.―192 16.
三、解答题(共74分)
17.解:(I)由正弦定理,有
代入得
即
(Ⅱ)
由得
所以,当时,取得最小值为0
18.解:(I)由已知得
故
即
故数列为等比数列,且
由当时,
所以
(Ⅱ)
所以
19.解:(I)从50名教师随机选出2名的方法为=1225,选出2人使用教材版本相同的方法数
故2人使用版本相同的概率为。
(Ⅱ)
的分布为
0
1
2
20.解(I)由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥的底面是边长为1的正方形,
侧棱底面,且,
(Ⅱ)不论点E在何位置,都有
证明:连结是正方形,
底面,且平面,
又平面
不论点在何位置,都有平面
不论点E在何位置,都有。
(Ⅲ)以为坐标原点,所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图:
则从而
设平面和平面的法向量分别为
,
由法向量的性质可得:
令则
设二面角的平面角为,则
二面角的大小为。
21.解:(1)由题意可知直线的方程为,
因为直线与圆相切,所以,即
从而
(2)设,则,
又
(
①当时,,解得,
此时椭圆方程为
②当时,,解得,
当,故舍去
综上所述,椭圆的方程为
22.解:(I)依题意,知的定义域为(0,+)
当时,
令,解得。
当时,;当时,
又所以的极小值为2-2,无极大值。
(Ⅱ);
令,解得。
(1)若令,得令,得
(2)若,
①当时,,
令,得或;
令,得
②当时,
③当时,得,
令,得或
令,得
综上所述,当时,的递减区间为,递增区间为
当时,的递减区间为;递增区间为
当时,递减区间为
当时,的递减区间为,递增区间为
(Ⅲ)当时, ,
由,知时,
依题意得:对一切正整数成立
令,则(当且仅当时取等号)
又在区间单调递增,得,
故又为正整数,得
当时,存在,对所有满足条件。
所以,正整数的最大值为32。
下图是某次歌咏比赛中,七位评委为某参赛选手打出分数的茎叶图.去掉一个最高分,再去掉一个最低分,则所剩数据的平均数和方差分别为
A.84,4.84
B.84,1.6
C.85,4
D.85,1.6
下图是某次歌咏比赛中,七位评委为某参赛选手打出分数的茎叶图.去掉一个最高分,再去掉一个最低分,则所剩数据的平均数和方差分别为
A.84,4.84
B.84,1.6
C.85,4
D.85,1.6
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
数学成绩 | 95 | 75 | 80 | 94 | 92 | 65 | 67 | 84 | 98 | 71 | 67 | 93 | 64 | 78 | 77 | 90 | 57 | 83 | 72 | 83 |
物理成绩 | 90 | 63 | 72 | 87 | 91 | 71 | 58 | 82 | 93 | 81 | 77 | 82 | 48 | 85 | 69 | 91 | 61 | 84 | 78 | 86 |
(1)根据上表完成下面的2×2列联表(单位:人):
数学成绩优秀 | 数学成绩不优秀 | 合计 | |
物理成绩优秀 | |||
物理成绩不优秀 | |||
合计 | 20 |
(3)若从这20个人中抽出1人来了解有关情况,求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率.
参考数据:
①假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为:
y1 | y2 | 合计 | |
x1 | a | b | a+b |
x2 | c | d | c+d |
合计 | a+c | b+d | a+b+c+d |
n(ad-bc)2 |
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) |
②独立检验随机变量K2的临界值参考表:
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
数学 | 95 | 75 | 80 | 94 | 92 | 65 | 67 | 84 | 98 | 71 | 67 | 93 | 64 | 78 | 77 | 90 | 57 | 83 | 72 | 83 |
物理 | 90 | 63 | 72 | 87 | 91 | 71 | 58 | 82 | 93 | 81 | 77 | 82 | 48 | 85 | 69 | 91 | 61 | 84 | 78 | 86 |
数学成绩优秀 | 数学成绩不优秀 | 总计 | |
物理成绩优秀 | |||
物理成绩不优秀 | |||
总计 | 20 |
参考公式:K2=
n(ad-bc)2 |
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) |
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |