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设函数,其中为自然对数的底数.
(1)求函数的单调区间;
(2)记曲线在点(其中)处的切线为,与轴、轴所围成的三角形面积为,求的最大值.
【解析】第一问利用由已知,所以,
由,得, 所以,在区间上,,函数在区间上单调递减; 在区间上,,函数在区间上单调递增;
第二问中,因为,所以曲线在点处切线为:.
切线与轴的交点为,与轴的交点为,
因为,所以,
, 在区间上,函数单调递增,在区间上,函数单调递减.所以,当时,有最大值,此时,
解:(Ⅰ)由已知,所以, 由,得, 所以,在区间上,,函数在区间上单调递减;
在区间上,,函数在区间上单调递增;
即函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
(Ⅱ)因为,所以曲线在点处切线为:.
切线与轴的交点为,与轴的交点为,
因为,所以,
, 在区间上,函数单调递增,在区间上,函数单调递减.所以,当时,有最大值,此时,
所以,的最大值为
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已知函数。
(1)求函数的最小正周期和最大值;
(2)求函数的增区间;
(3)函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到?
【解析】本试题考查了三角函数的图像与性质的运用。第一问中,利用可知函数的周期为,最大值为。
第二问中,函数的单调区间与函数的单调区间相同。故当,解得x的范围即为所求的区间。
第三问中,利用图像将的图象先向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变),然后把纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变),再向上平移1个单位即可。
解:(1)函数的最小正周期为,最大值为。
(2)函数的单调区间与函数的单调区间相同。
即
所求的增区间为,
即
所求的减区间为,。
(3)将的图象先向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变),然后把纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变),再向上平移1个单位即可。
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已知函数
(Ⅰ)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)令g(x)= f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)当x∈(0,e]时,证明:
【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。第一问中利用函数f(x)在[1,2]上是减函数,的导函数恒小于等于零,然后分离参数求解得到a的取值范围。第二问中,
假设存在实数a,使有最小值3,利用,对a分类讨论,进行求解得到a的值。
第三问中,
因为,这样利用单调性证明得到不等式成立。
解:(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)见解析
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已知函数
(1)若函数的图象经过P(3,4)点,求a的值;
(2)比较大小,并写出比较过程;
(3)若,求a的值.
【解析】本试题主要考查了指数函数的性质的运用。第一问中,因为函数的图象经过P(3,4)点,所以,解得,因为,所以.
(2)问中,对底数a进行分类讨论,利用单调性求解得到。
(3)中,由知,.,指对数互化得到,,所以,解得所以, 或 .
解:⑴∵函数的图象经过∴,即. … 2分
又,所以. ………… 4分
⑵当时,;
当时,. ……………… 6分
因为,,
当时,在上为增函数,∵,∴.
即.当时,在上为减函数,
∵,∴.即. …………………… 8分
⑶由知,.所以,(或).
∴.∴, … 10分
∴ 或 ,所以, 或 .
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设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+,函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上,且在此点处f(x)与g(x)有公切线.[来源:学。科。网]
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)设x>0,试比较f(x)与g(x)的大小.[来源:学,科,网Z,X,X,K]
【解析】第一问解:因为f(x)=lnx,g(x)=ax+
则其导数为
由题意得,
第二问,由(I)可知,令。
∵, …………8分
∴是(0,+∞)上的减函数,而F(1)=0, …………9分
∴当时,,有;当时,,有;当x=1时,,有
解:因为f(x)=lnx,g(x)=ax+
则其导数为
由题意得,
(11)由(I)可知,令。
∵, …………8分
∴是(0,+∞)上的减函数,而F(1)=0, …………9分
∴当时,,有;当时,,有;当x=1时,,有
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