题目内容
设函数,其中为自然对数的底数.
(1)求函数的单调区间;
(2)记曲线在点(其中)处的切线为,与轴、轴所围成的三角形面积为,求的最大值.
【解析】第一问利用由已知,所以,
由,得, 所以,在区间上,,函数在区间上单调递减; 在区间上,,函数在区间上单调递增;
第二问中,因为,所以曲线在点处切线为:.
切线与轴的交点为,与轴的交点为,
因为,所以,
, 在区间上,函数单调递增,在区间上,函数单调递减.所以,当时,有最大值,此时,
解:(Ⅰ)由已知,所以, 由,得, 所以,在区间上,,函数在区间上单调递减;
在区间上,,函数在区间上单调递增;
即函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
(Ⅱ)因为,所以曲线在点处切线为:.
切线与轴的交点为,与轴的交点为,
因为,所以,
, 在区间上,函数单调递增,在区间上,函数单调递减.所以,当时,有最大值,此时,
所以,的最大值为
【答案】
(Ⅰ)函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
(Ⅱ)的最大值为.
练习册系列答案
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已知函数其中为自然对数的底数, .(Ⅰ)设,求函数的最值;(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求的取值范围.
【解析】第一问中,当时,,.结合表格和导数的知识判定单调性和极值,进而得到最值。
第二问中,∵,,
∴原不等式等价于:,
即, 亦即
分离参数的思想求解参数的范围
解:(Ⅰ)当时,,.
当在上变化时,,的变化情况如下表:
|
- |
+ |
|
||
1/e |
∴时,,.
(Ⅱ)∵,,
∴原不等式等价于:,
即, 亦即.
∴对于任意的,原不等式恒成立,等价于对恒成立,
∵对于任意的时, (当且仅当时取等号).
∴只需,即,解之得或.
因此,的取值范围是