题目内容

设函数,其中为自然对数的底数.

(1)求函数的单调区间;

(2)记曲线在点(其中)处的切线为轴、轴所围成的三角形面积为,求的最大值.

【解析】第一问利用由已知,所以

,得, 所以,在区间上,,函数在区间上单调递减; 在区间上,,函数在区间上单调递增;

第二问中,因为,所以曲线在点处切线为.

切线轴的交点为,与轴的交点为

因为,所以,  

, 在区间上,函数单调递增,在区间上,函数单调递减.所以,当时,有最大值,此时

解:(Ⅰ)由已知,所以, 由,得,  所以,在区间上,,函数在区间上单调递减; 

在区间上,,函数在区间上单调递增;  

即函数的单调递减区间为,单调递增区间为.

(Ⅱ)因为,所以曲线在点处切线为.

切线轴的交点为,与轴的交点为

因为,所以,  

, 在区间上,函数单调递增,在区间上,函数单调递减.所以,当时,有最大值,此时

所以,的最大值为

 

【答案】

(Ⅰ)函数的单调递减区间为,单调递增区间为.

(Ⅱ)的最大值为.

 

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