一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

A

B

D

C

D

C

D

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分

9．    10. 60   11.    12.    13. 2    14. -2；1

三、解答题： 本大题共6个小题，共80分。

15. （本小题共13分）

已知函数

（Ⅰ）求函数的定义域；

（Ⅱ）求函数在区间上的最值。

解：（Ⅰ）由题意                 

所求定义域为  {}                            …………4分

（Ⅱ）

                           …………9分

由   知   ，

所以当时，取得最大值为；                   …………11分

当时，取得最小值为0 。                   …………13分

16. （本小题共13分）

已知数列中，，点（1，0）在函数的图像上。

（Ⅰ）求数列 的通项；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和。      

解：(Ⅰ)由已知        又         …………3分

 所以 数列是公比为的等比数列      所以        …………6分

     （Ⅱ） 由                                …………9分

      所以                …………13分

17. （本小题共14分）

如图，在正三棱柱中，,是的中点，点在上，。

（Ⅰ）求所成角的大小；        

（Ⅱ）求二面角的正切值；

(Ⅲ) 证明.

解：（Ⅰ）在正三棱柱中，  

又  是正△ABC边的中点，

                               …………3分

∠为所成角

又     sin∠=                      …………5分

所以所成角为（）

（Ⅱ） 由已知得 

   ∠为二面角的平面角，     所以     …………9分

(Ⅲ)证明:  依题意  得   ，，

因为                        …………11分

又由（Ⅰ）中    知，且，

                                      …………14分

18. （本小题共13分）

某校高二年级开设《几何证明选讲》及《数学史》两个模块的选修科目。每名学生至多选修一个模块，的学生选修过《几何证明选讲》，的学生选修过《数学史》，假设各人的选择相互之间没有影响。

(Ⅰ)任选1名学生，求该生没有选修过任何一个模块的概率；

(Ⅱ)任选4名学生，求至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率。

解：(Ⅰ)设该生参加过《几何证明选讲》的选修为事件A，

参加过《数学史》的选修为事件B， 该生没有选修过任何一个模块的概率为P，

则

所以 该生没有选修过任何一个模块的概率为                     …………6分

(Ⅱ)至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为

  所以至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为               …………13分

19. （本小题共13分）

已知函数的图像如图所示。

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若函数在处的切线方程为，求函数的        

解析式；

（Ⅲ）若=5，方程有三个不同的根，求实数的取值范围。

  解： 函数的导函数为  

(Ⅰ)由图可知  函数的图像过点（0，3），且

  得                         …………3分

(Ⅱ)依题意  且

         解得  

   所以                                 …………8分

（Ⅲ）依题意

          由                                       ①

    若方程有三个不同的根，当且仅当 满足        ②

  由 ① ②  得   

   所以 当  时 ，方程有三个不同的根。     …………13分

20. （本小题共14分）

       已知分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线，垂足为，线段的垂直平分线交于点M。

(Ⅰ)求动点M的轨迹的方程；

(Ⅱ)过点作直线交曲线于两个不同的点P和Q，设＝，若∈[2，3]，求的取值范围。

解：(Ⅰ)设M，则，由中垂线的性质知

||=     化简得的方程为                  …………3分

（另：由知曲线是以x轴为对称轴，以为焦点，以为准线的抛物线

    所以  ，         则动点M的轨迹的方程为）

(Ⅱ)设，由＝  知        ①

又由 在曲线上知                   ②

由  ①  ②       解得    所以 有          …………8分

 ===  …………10分

设 ，∈[2，3]， 有 在区间上是增函数，

得       进而有      

所以    的取值范围是                             …………14分